Flächenintegral für die Dreiecksfläche direkt und über das Kurvenitegral.

23.05.2016, 21:07	Eulg	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenintegral für die Dreiecksfläche direkt und über das Kurvenitegral. Meine Frage: Hallo, ich soll ein Flächenintegral $\begin{eqnarray} \int_{S} \! \vec{B} \, d\vec{S} \end{eqnarray}$ über die Dreiecksfläche S mit den Ecken (0,0,0), (1,0,0) und (0,1,0) berechnen, einmal direkt und einmal durch ein Kuvenintegral über $\begin{eqnarray} \vec{A} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Da ich nichts weiter gegeben habe, habe ich leidr keine Ahnung, wie ich mir da eine Funktion ertellen soll mit den 3 Eckpunkten. Kann ich die dritte Koordinate evntl. einfach weglassen und mit einem 2 Dimensionalem Dreieck rechnen?
23.05.2016, 21:11	eulg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenintegral für die Dreiecksfläche direkt und über das Kurvenitegral. Das $\begin{eqnarray} \vec{B}= \begin{pmatrix} 4z \\ 1 \\ 2x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist auch gegeben.
24.05.2016, 10:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Anschaulich kann man sich die Problemstellung wie folgt vorstellen: Durch ein Dreieck strömt ein Medium mit der Stromdichte $\begin{eqnarray} \vec j=\begin{pmatrix} 4z \\ 1 \\ 2x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gesucht ist die Stoffmenge $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ , welche insgesamt durch das Dreieck strömt. Das ist das gesuchte Flächenintegral $\begin{eqnarray} \Phi=\int \int \vec j \cdot \vec n\,\,\underbrace{dx\,dy}_{dA} \end{eqnarray}$ Die Dreiecksfläche liegt in der xy-Ebene. Deshalb lautet der Normaleneinheitsvektor, der senkrecht auf der Dreieckfläche steht $\begin{eqnarray} \vec n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Einsetzen der obigen Vektoren $\begin{eqnarray} \vec j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ in das genannte Integral ergibt bei geeigneter Parameterdarstellung der Dreiecksfläche A folgendes Integral $\begin{eqnarray} \Phi=\int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{1-x} \underbrace{\begin{pmatrix} 4z \\ 1 \\ 2x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{Skalarprodukt}}\,\,\underbrace{dx\,dy}_{dA} \end{eqnarray}$ Das sollst du ausrechnen! Man kann dieses Flächenintegral in ein Kurvenintegral umwandeln, indem man den Stokeschen Satz anwendet, welcher lautet $\begin{eqnarray} \int \int \underbrace{rot(\vec F)\cdot \vec n}_{\text{Skalarprodukt}}\,\, \underbrace{dx\,dy}_{dA}=\underbrace{\oint \vec F\,d\vec x}_{\text{Kurvenintegral}} \end{eqnarray}$ Du musst also (ein möglichst einfaches) Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ finden, so dass gilt $\begin{eqnarray} rot(\vec F)\cdot \vec n=\vec j\cdot \vec n \end{eqnarray}$ Damit kann man das Kurvenintegral leicht aufstellen und ausrechnen.

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