Inverse einer Matrix (Cramer'sche Regel)

24.05.2016, 09:42

Tiggger

Inverse einer Matrix (Cramer'sche Regel)

Meine Frage:
Gegeben sei folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe mit Hilfe der Cramer'schen Regel das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} Ax=e_{j} \end{eqnarray*}$ für j=1,2,3 gelöst.

Nun habe ich also drei unterschiedliche Vektoren, die das jeweilige Gleichungssytem lösen.

Nun soll ich die Inverse der oben gezeigten Matrix mit Hilfe der bereits gelösten Teilaufgabe finden.

Meine Ideen:
Zur Findung der Inversen:

$\begin{eqnarray*} A \cdot A^{-1} = E_{n} \end{eqnarray*}$

Ich habe $\begin{eqnarray*} e_{1},e_{2},e_{3} \end{eqnarray*}$ und diese ergeben zusammengefügt die Einheitsmatrix.

Meine "Idee" war jetzt einfach die Lösungen der Gleichungssysteme (drei unterscheidliche Vektoren) zusammenzufügen, um die inverse Matrix zu bekommen. Dann habe ich zur Kontrolle $\begin{eqnarray*} A \cdot A^{-1} \end{eqnarray*}$ gerechnet und leider kam nicht die Einheitsmatrix heraus.

Wie komme ich also zur Inversen der Matrix mit Hilfe der bereits gefundenen Lösungen?

24.05.2016, 10:39

klarsoweit

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RE: Inverse einer Matrix (Cramer'sche Regel)

Zitat:

Original von Tiggger
Ich habe mit Hilfe der Cramer'schen Regel das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} Ax=e_{j} \end{eqnarray*}$ für j=1,2,3 gelöst.

Dann poste bitte mal diese Lösungen. smile

24.05.2016, 10:44

Leopold

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RE: Inverse einer Matrix (Cramer'sche Regel)

Zitat:

Original von Tiggger
Dann habe ich zur Kontrolle $\begin{eqnarray*} A \cdot A^{-1} \end{eqnarray*}$ gerechnet und leider kam nicht die Einheitsmatrix heraus.

Vermutlich Rechenfehler, denn das Verfahren stimmt.

24.05.2016, 10:48

Tiggger

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RE: Inverse einer Matrix (Cramer'sche Regel)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{5} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{4}{15} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist Lösung für $\begin{eqnarray*} e_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{5} \\ 0 \\ \frac{2}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist Lösung für $\begin{eqnarray*} e_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{15} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist Lösung für $\begin{eqnarray*} e_{3} \end{eqnarray*}$

24.05.2016, 10:50

Tiggger

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RE: Inverse einer Matrix (Cramer'sche Regel)
Also wäre das meine Inverse:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ -\frac{4}{15} & \frac{2}{5} & \frac{1}{15} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.05.2016, 10:52

klarsoweit

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RE: Inverse einer Matrix (Cramer'sche Regel)
Den Vektor in der 3. Spalte hast du falsch abgeschrieben (Vorzeichenfehler). Ansonsten paßt es. Freude

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