Orthogonale Gerade finden

24.05.2016, 11:44

BeckxHeidi

Orthogonale Gerade finden

Meine Frage:
Gegeben seien zwei windschiefe Geraden r und s. Die Geraden sind als Schnitte zweier Ebenen wie folgt gegeben:

r: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} $$x-y+z=0$$ \\ $$2x+z-1=0$$ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
s: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} $$x-2z+1=0$$ \\ $$y+x-1=0$$ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimme die Gleichung der Geraden u, die beide Geraden orthogonal schneidet.

Meine Ideen:
Ich habe die "Musterlösung" habe aber auch selber schon gerechnet.

Meine erste Idee war eine Herangehensweise aus der Schule. Ich habe die beiden Geraden in Koordinatenform aufgestellt, habe die Richtungsvektoren ver"kreuzproduktet" und hatte den Vektor, der orthogonal zu beiden ist. Jetzt musste ich nur noch einen Punkt finden. Ich habe deswegen eine Hilfsebenengleichung aufgestellt mithilfe einer Geraden und des orthogonalen Vektors und habe diese Ebene mit der anderen Gerade geschnitten. Allerdings habe ich kein Ergebnis bekommen... Entweder ich hatte mich verrechnet oder die Herangehensweise war schlichtweg falsch.

Die Musterlösung sieht Folgendes vor: Die Gerade u, die gesucht ist, kann man als die Gerade betrachten, die r und s schneidet und durch den uneigentlichen Punkt geht, der mittels der orthogonalen Richtung zu r und s bestimmt ist. Abgesehen davon, dass ich das Konzept des uneigentlichen Punktes noch nicht so ganz durchdrungen hatte, habe ich also den Schritten der (nur stichpunktartigen) Musterlösung gefolgt.
Also habe ich die uneigentlichen Punkte beider Geraden bestimmt. Dafür habe ich die Geradengleichungen in Koordinatenform beider Geraden aufgestellt und dann den Richungsvektor mit einer Null versehen und hatte den uneigentlichen Punkt. Denke ich:
Für r (-1,-2,1,0) und für s (-1/2,-1,1,0)
Nun gibt es eine "Formel", die aussagt, dass der gesuchte Vektor orthogonal zu den beiden anderen sein muss und deswegen muss folgendes gelten:
n*v=0 und n*v'=0 (* ist das Skalarprodukt)
Ich bekomme damit folgenden uneigentlichen Punkt heraus (der gleichzeitig auch die Richtung der gesuchten Gerade u angeben soll): (-2,1,0,0).

Das Problem, welches ich habe, ist, dass leider in der Musterlösung steht, dass der uneigentliche Punkt von r (-1,1,2,0) ist und der für s (2,-1,1,0) ist und der, der die Richtung für die gesuchte Gerade angeben soll ist (3,5,-1,0)

Ich wüsste gerne, ob erstens die Vorgehensweise nicht etwas kompliziert ist mit den ganzen uneigentlichen Punkten (was bringen die überhaupt?) und ob der Fehler in der Lösung steht, oder ob ich nicht verstanden habe, wie man an die uneigentlichen Punkte kommt...

24.05.2016, 12:59

klarsoweit

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RE: Orthogonale Gerade finden

Zitat:

Original von BeckxHeidi
Allerdings habe ich kein Ergebnis bekommen... Entweder ich hatte mich verrechnet oder die Herangehensweise war schlichtweg falsch.

Im Moment kann ich nur sagen, daß die Vorgehensweise prinzipiell korrekt ist. Ein Rechenfehler erscheint mir daher wahrscheinlich.

24.05.2016, 13:00

klauss

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RE: Orthogonale Gerade finden
Warum stehen in Deinen Vektoren immer 4 Einträge? Auch wenn der 4. 0 ist - wir sind doch im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ .
Dann rechne und rechne ich und stelle fest, dass die beiden Geraden gar nicht windschief sind, sondern sich schneiden.
verwirrt

Was gilt nun?
Wenn sich die beiden Geraden schneiden, würde ich wie folgt vorgehen (Herangehensweise aus der Schule):
1) Parameterform der beiden Geraden als Schnitt je zweier Ebenen bestimmen
2) aus den beiden Richtungsvektoren den gemeinsamen Normalenvektor bestimmen
3) Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmen
Damit hätten wir doch Aufpunkt und Richtungsvektor der orthogonalen Geraden.

24.05.2016, 13:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
3) Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmen

Welchen Schnittpunkt? Die beiden Geraden werden i.a. windschief sein. Augenzwinkern

24.05.2016, 13:56

klauss

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Steht "i.a." für "im allgemeinen"?
Dann ginge die orthogonale Gerade durch die eindeutige Verbindungsstrecke der beiden Lotfußpunkte. Die würde ich mit Gleichungssystem aus Vektorzug bestimmen.
Aber hier "im speziellen" gehe ich davon aus, dass ein Schnittpunkt besteht, bis mir das rechnerisch widerlegt wird. Augenzwinkern

24.05.2016, 14:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von BeckxHeidi
Gegeben seien zwei windschiefe Geraden r und s.

Bei einer solchen Angabe kann man m.E. nicht von vornherein davon ausgehen, dass sie sich schneiden. Im vorliegenden Fall hast du aber Recht - da kann man nur sagen: Schwein gehabt. Augenzwinkern

(Etwas andere Werte, und schon hätte das Verfahren so nicht geklappt.)

24.05.2016, 14:09

klauss

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Zitat:

Original von HAL 9000
Schwein gehabt

Eigentlich nicht, denn ich habs vorher überprüft:

Zitat:

Original von klauss
Dann rechne und rechne ich und stelle fest, dass die beiden Geraden gar nicht windschief sind, sondern sich schneiden.

24.05.2016, 21:35

BeckxHeidi

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RE: Orthogonale Gerade finden
Die Aufgabe ist aus der projektiven Geometrie in Italien, deswegen ist da die Rede von irgendwelchen komischen "uneigentlichen" Punkten, die mit vier Stellen statt dreien dargestellt werden und die vierte ist aber quasi immer null. Den Grund habe ich wegen einer kleinen Sprachbarriere nicht wirklich verstanden. xD
Eigentlich sollten die sich nicht schneiden, weil die nächste Teilaufgabe ist nämlich der Abstand von den beiden Geraden zu bestimmen... Das wäre ja dann trivial. Big Laugh

[Edit] Gerade nachgeschaut... Leider habe ich einen Fehler in der Angabe gemacht. Sorry... smile

24.05.2016, 21:38

BeckxHeidi

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RE: Orthogonale Gerade finden

Zitat:

Original von BeckxHeidi
s: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} $$x-2z+1=0$$ \\ $$y+x-1=0$$ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Gerade heißt eigentlich:
s: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} $$x-2z+1=0$$ \\ $$y+z-1=0$$ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hammer

25.05.2016, 12:46

klauss

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RE: Orthogonale Gerade finden
Das mit der projektiven Geometrie habe ich schon vermutet. Bei Wikipedia ist auch von "uneigentlichen" Punkten die Rede. Aber das dürfte hier zweitrangig sein.

Du kannst also mit 1) und 2) aus meinem ersten Beitrag loslegen. Punkt 3) fällt weg.
Meine Methode wäre folgende:
Wenn die beiden Geraden
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {P_{1}} +\lambda \vec{u} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {P_{2}} +\mu \vec{v} \end{eqnarray*}$
sind und der gemeinsame Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ , dann ist das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {P_{1}} +\lambda \vec{u} +\alpha \vec{n}=\overrightarrow {P_{2}} +\mu \vec{v} \end{eqnarray*}$
eindeutig lösbar. D. h. es gibt genau eine Möglichkeit, die windschiefen Geraden über ihre Normale zu verbinden.
Mit den Werten für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ sind die Lotfußpunkte auf den beiden Geraden bestimmt und durch die kann man dann die orthogonale Gerade legen.
Mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | \vec{n} | \end{eqnarray*}$ kann man dann auch gleich den Abstand berechnen, ansonsten gäbs für den auch noch eine separate Formel.

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