Herleitung der Raketengleichung

24.05.2016, 14:22	Bodo85	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Raketengleichung Guten Tag zusammen, ich habe eine Frage zu der Herleitung einer Formel und bitte um Hilfe. Die Ausgangsformel lautet: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{v_G} \cdot dm_{T} = - (m_T + m_R - dm_{T})dv_R<br /> \end{eqnarray}$ Die Lösung lautet: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{v_R} = \vec{v_G} \cdot \ln \frac{m}{m_R}<br /> \end{eqnarray}$ ich würde $\begin{eqnarray} m_T + m_R \end{eqnarray}$ erstmal vereinfachen zu $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Damit hätte ich schonmal folgende Form: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{v_G} \cdot dm_{T} = - (m - dm_{T})dv_R<br /> \end{eqnarray}$ Die Schreibweise von $\begin{eqnarray} dm_T \end{eqnarray}$ würde ich als Ableitung von $\begin{eqnarray} m_T \end{eqnarray}$ betrachten. Der Vektor macht es mir jetzt auch nicht einfacher, wobei ich den wohl vorerst ignorieren würde. *1. Umstellen nach : $\begin{eqnarray} dv_R \end{eqnarray}$* $\begin{eqnarray} <br /> dv_r = - \vec{v_G} (-m_T-m_R-frac{m_T+m_R}{m_T+m_R-dm_T})<br /> \end{eqnarray}$ *2. Minus rausziehen und das $\begin{eqnarray} m_R \end{eqnarray}$ rausziehen* $\begin{eqnarray} <br /> dv_r = - \vec{v_G} m_R (m_R+frac{m_T+m_R}{m_T+m_R-dm_T})<br /> \end{eqnarray}$ 3. zur Vereinfachung $\begin{eqnarray} a = m_R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = m_T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x' = dm_T \end{eqnarray}$ 4. Integration $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! y'(x) dx = y(x)= \int_{}^{} \! c_1+c(x+\frac{x+a}{x+a-x'})dx <br /> <br /> =c_1x+\frac{1}{2}cx^2+c\int_{}^{} \! \frac{x+a}{x+a-x'}dx \end{eqnarray}$ Ich habe keinen Schimmer wie ich den letzten Teil integieren soll.... Über Hilfe wäre ich super dankbar! Bzw... habe ich einen schweren Fehler gemacht? Beste Grüße Bodo
24.05.2016, 15:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie geht es bei dir gleich inkonsistent los: Wenn du vektoriell $\begin{align} \vec{v}_G \end{align}$ schreibst, dann musst du auch vektoriell mit $\begin{align} \dd \vec{v}_R \end{align}$ operieren. Im Falle von Geschwindigkeit $\begin{align} \vec{v}_R=0 \end{align}$ beim Start findet aber eh alles nur auf einer Geraden mit normierter Richtung $\begin{align} \vec{n} \end{align}$ statt, so dass man via $\begin{align} \vec{v}_G = v_G\cdot \vec{n} \end{align}$ und $\begin{align} \vec{v}_R = v_R\cdot \vec{n} \end{align}$ direkt zur reellen Gleichung $\begin{align} v_G \cdot \dd m_T = - (m_T + m_R - \dd m_T) ~ \dd v_R \end{align}$ übergehen kann.
24.05.2016, 15:47	Bodo85	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Vektoren ausblenden? Ansonsten verstehe ich nicht was mir die Aussage mitteilen soll. Dann geht die Rechnung ja normal weiter. Die Vektorenpfeile sind ein Copy & paste Fehler. Den werde ich gleich beheben. Ich würde wirklich gerne wissen, wie ich die Ableitung x', $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{x+a}{x+a-x'}dx \end{eqnarray}$ integrieren kann.
24.05.2016, 16:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bessere mal bei der Gelegenheit auch deine undeutbaren $\begin{align} frac \end{align}$ -Konstrukte aus. Wenn ich so vom Ende her hinschaue, muss irgendwo was furchtbar schief gelaufen sein. -------------------------- Insgesamt kann ich nicht so richtig deuten, was du da treibst. Meines Erachtens lautet die Rechnung per Trennung der Variablen einfach $\begin{align} v_G ~ \dd m_T &= -(m_T+m_R) ~ \dd v_R\\ \dd v_R &= -\frac{v_G}{m_T+m_R} ~ \dd m_T\\ v_R &= -v_G\ln(m_T+m_R) + C \end{align}$ Integrationskonstante $\begin{align} C \end{align}$ ergibt sich über Geschwindigkeit 0 zum Startzeitpunkt bei Treibstoffmasse $\begin{align} m_{T0} \end{align}$ , also $\begin{align} C = v_G\ln(m_{T0}+m_R) \end{align}$ und damit $\begin{align} v_R = v_G\ln\left(\frac{m_{T0}+m_R}{m_T+m_R}\right) \end{align}$ .

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