0-1 Gesetz von Kolmogorov Gesetz der großen Zalen

24.05.2016, 14:55

Pompadur

0-1 Gesetz von Kolmogorov Gesetz der großen Zalen

Hallo ihr!

Ich stecke gerade bei folgender Aufgabe fest:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, P) \end{eqnarray*}$ ein W-Raum und $\begin{eqnarray*} (X_i) \end{eqnarray*}$ eine unabhängige Folge von reellwertigen ZVen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^1 (P) \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie:
Die Menge $\begin{eqnarray*} \left\lbrace \omega \in \Omega ~ | ~ \lim_{n \mapsto \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( X_i (\omega) - E(X_i) \right) = 0 \right\rbrace \end{eqnarray*}$
besitzt die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1.

Ich hatte die Idee, das mit dem 0-1-Gesetz von Kolmogorov zu beweisen:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, P) \end{eqnarray*}$ ein W-Raum, $\begin{eqnarray*} (\mathcal{A})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine unabhängige Folge von Unter- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebren von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_\infty \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra der terminalen Ereignisse von $\begin{eqnarray*} (\mathcal{A})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt

$\begin{eqnarray*} P(A) \in \{0,1\} ~~~ (A \in \mathcal{A}_\infty) \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich definiert, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_n := \sigma(X_n) \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich scheitere allerdings daran zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left\lbrace \omega \in \Omega ~ | ~ \lim_{n \mapsto \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( X_i (\omega) - E(X_i) \right) = 0 \right\rbrace \in \mathcal{A}_\infty \end{eqnarray*}$ ist :/

Hat vielleicht jemand eine Idee oder kennt einen anderen Lösungsansatz?
Sehe ich es richtig, dass hier de facto bewiesen werden soll, dass die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ fast sicher oder fast unmöglich dem starken Gesetz der großen Zahlen genügt?

Grüße

24.05.2016, 15:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pompadur
Ich scheitere allerdings daran zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left\lbrace \omega \in \Omega ~ | ~ \lim_{n \mapsto \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( X_i (\omega) - E(X_i) \right) = 0 \right\rbrace \in \mathcal{A}_\infty \end{eqnarray*}$ ist

Für das Eintreten der Konvergenz $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( X_i (\omega) - E(X_i) \right) = 0 \end{align*}$

spielen für festes, aber endliches $\begin{align*} m \end{align*}$ die ersten $\begin{align*} m-1 \end{align*}$ Werte $\begin{align*} X_1(\omega),\ldots,X_{m-1}(\omega) \end{align*}$ keine Rolle, d.h., diese Konvergenz wird allein von $\begin{align*} X_m(\omega),X_{m+1}(\omega),\ldots \end{align*}$ bestimmt und somit ist

$\begin{align*} \left\{ \omega\in\Omega \bigm| \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( X_i (\omega) - E(X_i) \right) = 0 \right\} \in \sigma\left( \bigcup\limits_{k\geq m} \mathcal{A}_k \right) \end{align*}$ .

für beliebig gewählte $\begin{align*} m \end{align*}$ . Damit liegt das Ereignis natürlich auch im Durchschnitt aller Sigma-Algebren rechts für $\begin{align*} m=1,2,\ldots \end{align*}$ , und dieser Durchschnitt ist nichts anderes als die terminale Sigma-Algebra $\begin{align*} \mathcal{A}_{\infty} \end{align*}$ .

25.05.2016, 11:19

Pompadur

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Wow, hab vielen Dank für deine Antwort! Damit dürfte alles klar sein.

Um sicher zu gehen, dass ich es richtig verstanden habe:
Die Menge $\begin{eqnarray*} \left\lbrace \omega \in \Omega ~ | ~ \lim_{n \mapsto \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( X_i(\omega)-E(X_i) \right) = 0 \right\rbrace \end{eqnarray*}$ ist bereits Element der Menge $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k \geq m} \mathcal{A}_k \end{eqnarray*}$ oder?
D.h. die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra daraus (wie in Deiner Ausführung) ist nur noch ein "Zusatz"!?

Grüße!

25.05.2016, 11:45

HAL 9000

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Nein, das mit der Sigma-Algebra ist schon nötig und darf an der Stelle wirklich nicht weggelassen werden! Das sind elementare Überlegungen zur Messbarkeit, lass mich das an einem einfachen Beispiel verdeutlichen:

Wir betrachten $\begin{align*} \Omega = \{0,1,2,3\} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} X_1(0)=X_1(1)=0,X_1(2)=X_1(3)=1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} X_2(0)=X_2(2)=0,X_2(1)=X_2(3)=1 \end{align*}$ . Dann sind die zugehörigen kleinsten Sigma-Algebren

$\begin{align*} \mathcal{A}_1 = \sigma(X_1) = \{ \emptyset , \{0,1\}, \{2,3\}, \Omega \} \end{align*}$

$\begin{align*} \mathcal{A}_2 = \sigma(X_2) = \{ \emptyset , \{0,2\}, \{1,3\}, \Omega \} \end{align*}$

und somit

$\begin{align*} \mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2 = \{ \emptyset , \{0,1\}, \{0,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \Omega \} \end{align*}$ .

Wenn wir nun aber die Summe $\begin{align*} S:=X_1+X_2 \end{align*}$ betrachten, so können wir z.B. das Ereignis $\begin{align*} [S=0] = S^{-1}(\{0\}) = \{ 0\} \end{align*}$ betrachten, und das liegt nicht in $\begin{align*} \mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2 \end{align*}$ , wohl aber in $\begin{align*} \sigma\left(\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2\right) \end{align*}$ , letzteres ist hier die volle Potenzmenge von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ , bzgl. der natürlich alles messbar ist.

25.05.2016, 12:14

Pompadur

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Achso, jetzt habe ich es verstanden! smile

Vielen Dank!

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