Bell-Zahlen

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Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »
Bell-Zahlen
Meine Frage:
Die n-te Bell-Zahl B n ist für definiert als:

sind die Stirling Zahlen zweiter Ordnung

Es soll eine vollständige Induktion über n ausgeführt werden.


Ich weiß leider nicht wie ich eine vollständige Induktion hierbei ausführen soll.

Meine Ideen:
Für












Für





|| Vermutlich nicht richtig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gib doch bitte mal die Aufgabenstellung richtig und vollständig wieder:

Wie soll man irgendeine Formel zur Ableitung von beweisen, wenn über vorher überhaupt nichts gesagt wird (Definition)? unglücklich

-------------------------------

Vielleicht ist es so zu verstehen: Für ist es die Definition von , für ist es dann die Behauptung.

In dem Zusammenhang: Es ist statt wie bei dir 0. Folglich kann man wohl als Ausgangspunkt ansehen.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bell-Zahlen
Zur Herleitung der Formel wird die Funktion

verwendet.
und es soll für die n-te Ableitung



Das soll mittels vollständiger Induktion ausgeführt werden.



Also habe ich ich:

.

.

Wenn ich jetzt:
einsetze kann ich dann so weiterfahren ? Also wie oben in meinem Ansatz?

Edit: Ah ich muss ja dann für mein n+1 wieder auf f kommen. Ja das macht dann schon mehr Sinn. Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyneon
|| Vermutlich nicht richtig.

Grober Unfug würde ich das nennen.

Im Induktionsschritt kannst du verwenden, dass sich die (n+1)-te Ableitung als einfache Ableitung der n-ten Ableitung schreiben lässt, also

.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kann ich das also so schreiben:

?

Wenn ja, wie leite ich denn ab? oder muss ich dann nur e^... ableiten?


Das kann ja nicht stimmen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyneon

Das kann ja nicht stimmen?

Doch, es stimmt, man kann es natürlich noch umschreiben in Hinblick auf weitere Umformungen bzw. Zusammenfassungen:

.

Letztendlich nachzuweisen im Induktionsschritt ist

.

Und dann erfüllen ja noch die Stirlingzahlen gewisse Rekursionsgleichungen...
 
 
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie beweise ich dann:

Da habe ich ja auch noch das n+1 in der Stirling Zahl. Das ist mir noch nicht ganz klar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du meinen Beitrag durchgelesen? Auch den letzten Satz?
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber das genau ist mir noch nicht so klar mit den Stirling Zahlen zweiter Art.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und du findest nichts unter den Eigenschaften der Stirling-Zahlen zweiter Ordnung, was hier passen könnte, d.h., was rekursiv darstellt?
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Doch schon.



Aber ich komme dann hier nicht weiter.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyneon

Zunächst wollen wir festhalten, dass rechts das steht, was wir bisher unter Nutzung der Induktionsvoraussetzung als Darstellung von haben, und das links das steht, was wir nachweisen wollen.

D.h., wenn du das einfach so gleichsetzt, nimmst du die Behauptung vorweg. Mir ist klar, dass das öfter so in Induktionsbeweisen gehandhabt wird (äquivalentes Umformen der behaupteten Gleichheit, bis man zur Identität kommt) - eine solche Gleichheit aber unkommentiert einfach so hinzuschreiben ist dennoch kein guter Stil.


Ich würde anknüpfend an oben so weitermachen: Mit Aufspaltung der Summe, Indexverschiebung in der ersten Teilsumme und wieder Zusammenfassen kommt man zu



Jetzt kannst du direkt nutzen, außerdem :

.

Schlussendlich kann man noch den Term als Summand für in die Summe reintegrieren, das klappt wegen , dann ist da noch der Term für , der aber wegen sowieso gleich Null ist - und schon ist man fertig.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal,
vielen Dank für deine Mühe!

Ich habe jetzt mittels vollständiger Induktion gezeigt, dass

gilt.

Wie kann ich daraus nun die Taylor-Reihe für bestimmen
Eine Entwicklungstelle ist nicht gegeben.

Kann ich hierzu diese Formel benutzen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Anzunehmen, dass Entwicklungsstelle a=0 gemeint ist.

Zitat:
Original von Cyneon
Kann ich hierzu diese Formel benutzen?

Wenn du sie um das notwendige, aber fehlende Reihensymbol ergänzt: Ja.

EDIT: Und im Zähler steht nur statt .


Zitat:
Original von Cyneon
Ich habe jetzt mittels vollständiger Induktion gezeigt, dass

gilt.

Wenn das auch für n=0 gelten soll, dann muss die Summe bereits bei k=0 statt bei k=1 beginnen. Steht ja auch so in deinem Eröffnungsposting.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich mich mit dem Editor etwas verhaspelt. Aber vielen Dank nochmal.
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