Matrix als Summe einer Diagonalmatrix und einer Einsmatrix

24.05.2016, 16:13

beachen

Matrix als Summe einer Diagonalmatrix und einer Einsmatrix

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Matrix, die ich als Summe einer Diagonalmatrix mit gleichen Einträgen und einer Einsmatrix darstellen kann. Also derart

$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} a+ b & b & b & \dotsc & b\\ b & a+b &b &\dotsc & b\\ \vdots & \vdots & & & \vdots\\ b & b & \dotsc & b & a+b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kennt jemand solche Matrizen und vor allem weiß jemand, wie man die Inverse berechnet?

Meine Ideen:
Ich habe es schon einmal mit vollständiger Induktion probiert, aber leider nichts geschafft.

24.05.2016, 16:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von beachen
Ich habe es schon einmal mit vollständiger Induktion probiert, aber leider nichts geschafft.

Dazu muss man ja erstmal eine Vermutung haben, wie eine solche Inverse aussieht - hast du das?

Wenn nicht: Was tut man da? Man rechnet die Sache mal für kleine Dimensionen durch. Also d=1 (trivial), d=2 und sagen wir mal noch d=3. Dann müsste dir schon mal was auffallen. Augenzwinkern

24.05.2016, 17:02

beachen

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Ich habe schonmal was programmiert und sehe, dass die Inverse wieder eine solche Form hat. Also auf der Diagonalen stehen c+d und sonst nur c. Nur weiß ich leider nicht den Zusammenhang zu a und b.
Nun ist meine Alegebra-Ausbildung leider schon einige Jahre zurück und ich dachte, vielleicht sieht jemand die Matrix und sagt: "Das ist doch eine "XY"-Matrix!"

24.05.2016, 17:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von beachen
Ich habe schonmal was programmiert und sehe, dass die Inverse wieder eine solche Form hat. Also auf der Diagonalen stehen c+d und sonst nur c. Nur weiß ich leider nicht den Zusammenhang zu a und b.

Dann rechne es doch aus!

Sei $\begin{align*} I_n \end{align*}$ die $\begin{align*} n \end{align*}$ -dimensionale Einheitsmatrix, sowie $\begin{align*} S_n \end{align*}$ die aus sämtlich 1 bestehende $\begin{align*} n\times n \end{align*}$ -Matrix.

Dann ist deine Matrix $\begin{align*} X = aI_n + bS_n \end{align*}$ . Angenommen, auch $\begin{align*} X^{-1} \end{align*}$ habe diese Struktur $\begin{align*} X^{-1} = dI_n + cS_n \end{align*}$ mit Konstanten $\begin{align*} c,d \end{align*}$ , die nur von $\begin{align*} a,b,n \end{align*}$ abhängen. Wegen $\begin{align*} S_n^2 = nS_n \end{align*}$ muss dann gelten

$\begin{align*} I_n = XX^{-1} = \left( aI_n + bS_n \right)\left( dI_n + cS_n \right) = adI_n + (ac+bd)S_n + bcS_n^2 = adI_n + (ac+bd+nbc)S_n \end{align*}$ .

Klar, wie es weitergeht?

24.05.2016, 17:11

beachen

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Mich interessiert am Ende nicht unbedingt die Inverse, sondern die 1-Norm dieser. Und es sieht so aus, als würde diese gegen 1/b mit steigender Dimension konvergieren.

24.05.2016, 17:18

beachen

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Super, vielen Dank!!!

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