schwierige Matrix-Determinante per Hand berechnen

24.05.2016, 19:12	mRek	Auf diesen Beitrag antworten »
schwierige Matrix-Determinante per Hand berechnen Meine Frage: Hallo, die Determinante der folgenden Matrix soll per Hand berechnet werden: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & \sqrt{5} & \sqrt{3} \\ 2-\sqrt{5} & \sqrt{21} & \sqrt{10} & -2\sqrt{3} \\ \sqrt{10} & 2\sqrt{15} & 5 & \sqrt{6} \\ 2 & 2\sqrt{6} & \sqrt{10} & \sqrt{15} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab versucht durch Umformung auf eine Obere Dreiecksmatrix zu kommen, jedoch schaffe ich es nie alle Stellen zu nullen. Bsp.: 1.) $\begin{eqnarray} z4 - \sqrt{2} z1 \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} z3 - 2\sqrt{5} * z1 \end{eqnarray}$ 3.) Tausch Spalte1 mit Spalte3 komme ich auf: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} \sqrt{5} & \sqrt{3} & \sqrt{2} & \sqrt{3} \\<br /> \sqrt{10} & \sqrt{21} & 2-\sqrt{5} & -2\sqrt{3} \\<br /> 10 & 0 & -\sqrt{10} & -2\sqrt{15}+\sqrt{6} \\<br /> 0 & \sqrt{6} & 0 & \sqrt{15}-\sqrt{6} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ Ist dieser Ansatz richtig bzw. gibt es Methoden an solche Aufgaben ran zu gehen? Ich würde mich über ein paar Denkansätze freuen PS: Ich weiß das die Lösung -45 ist, dafür ist ja mein TR da. Mir gehts um den Denkansatz bzw. den Weg einen zu finden. MfG Markus
24.05.2016, 20:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht nicht gleich obere Dreiecksmatrix, aber man könnte schon anstreben, in einer Zeile oder Spalte alle bis auf einen Eintrag zu Null zu machen - damit der Laplacesche Entwicklungssatz in seiner einfachsten Form (nur eine Unterdeterminante dann der Dimension 3) greift. Insofern stimme ich 1) $\begin{align} z_4 - \sqrt{2}\cdot z_1 \end{align}$ zu, würde aber dann eher 2) $\begin{align} z_3 - \sqrt{5}\cdot z_1 \end{align}$ vorschlagen - anschließend 3) $\begin{align} z_4 + z_3 \end{align}$ und du kannst die vierte Zeile so wie oben gewünscht entwickeln, und im Anschluss daran sofort auch die dritte Zeile der Restmatrix. Die verbleibende 2x2-Matrix sollte dann kein Problem mehr sein.
24.05.2016, 20:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach 1),2), wie von HAL 9000 vorgeschlagen, erhält man $\begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & \sqrt{5} & \sqrt{3} \\ 2-\sqrt{5} & \sqrt{21} & \sqrt{10} & -2 \sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{15} & 0 & \sqrt{6} - \sqrt{15} \\ 0 & \sqrt{6} & 0 & \sqrt{15} - \sqrt{6} \end{vmatrix} \end{align}$ Wenn man jetzt die zweite und die dritte Spalte vertauscht (Vorzeichenwechsel), kann man die Regel $\begin{align} \det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(C) \end{align}$ anwenden. Die Blockmatrizen $\begin{align} A,C \end{align}$ sind hierbei quadratisch. Man kann das auch noch mit 3) im Vorschlag von HAL 9000 kombinieren.
25.05.2016, 22:11	mRek	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke HAL 9000 & Leo mit der Stütze hab ichs hinbekommen Sag mal Leo, gibts für die Regel nen Namen? MfG Markus

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