Alternative Definition von Cauchy-Folgen

24.05.2016, 19:44	Jo_maths	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternative Definition von Cauchy-Folgen Meine Frage: Sind für jeden metrischen Raum (X,d) und jede Folge (xn) in X die beiden Bedingungen 1. die Folge (xn) ist eine Cauchy-Folge und 2. zu jeder reellen Zahl Epsilon>0 existiert eine natürliche Zahl N, sodass für jede natürliche Zahl n mit n $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ N die Ungleichung d(xn,xn+1) < Epsilon erfüllt ist, äquivalent? Beweisen Sie Ihre Antwort. Meine Ideen: Da ich kein Gegenbeispiel finden konnte, bin ich davon ausgegangen, dass die Äquivalenz stimmt. Beweis: "1.-> 2." Da Xn eine Cauchy Folge ist, gibt es für alle E>0 ein N aus $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für alle folgenden Indizes n,m die Ungleichung d(xn,xm)<E gilt. Sei m>n. Sei k= m-n. Dann gilt: d(xn,xm)<E -> d(xn,xn+k)<E (für alle k aus $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ohne 0). Folglich ist insbesondere d(xn,xn+1)<E. -> Für alle Epsilon>0 gibt es einen Index N, sodass für alle folgenden Folgeglieder gilt: d(xn,xn+1)<E "2.->1." Für (xn) gilt: Für alle Epsilon>0 gibt es einen Index N, sodass für alle folgenden Folgeglieder gilt: d(xn, xn+1)<E d(xn,xn+1)<E -> d(xn,xn+k)<Ek (für alle k aus $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ohne 0). Setze m:= n+k d(xn,xm)<E=E(m-n) -> Für alle E*>0 gibt es einen Index N, sodass für alle folgenden Indizes n,m gilt: d(xn,xm)<0. Allerdings ist Epsilon in der Richtung "2.->1." von n und m abhängig, was ja eigentlich nicht sein darf. Trotzdem kann ich kein Gegenbeispiel finden, sodass die Äquivalenz nicht gilt. Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. (:
24.05.2016, 19:59	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alternative Definition von Cauchy-Folgen Gegenbeispiele gibt es jede Menge. Nimm $\begin{eqnarray} X=\mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit Standardmetrik. Waehle eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}x_n=\infty \end{eqnarray}$ , die so langsam divergiert, so dass noch $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0 \end{eqnarray}$ gilt.
24.05.2016, 19:59	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schau dir als Folgen mal Reihen an, die nicht konvergieren, wo aber Nullfolgen summiert werden.
24.05.2016, 23:46	Jo_maths	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank! Dank eurer Tipps hab ichs sofort gesehen, die harmonische Reihe ist ein super Gegenbeispiel! Beste Grüße!

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