Alternative Definition von Cauchy-Folgen

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Jo_maths Auf diesen Beitrag antworten »
Alternative Definition von Cauchy-Folgen
Meine Frage:
Sind für jeden metrischen Raum (X,d) und jede Folge (xn) in X die beiden Bedingungen

1. die Folge (xn) ist eine Cauchy-Folge und

2. zu jeder reellen Zahl Epsilon>0 existiert eine natürliche Zahl N, sodass für jede natürliche Zahl n mit n N die Ungleichung d(xn,xn+1) < Epsilon erfüllt ist,

äquivalent? Beweisen Sie Ihre Antwort.

Meine Ideen:
Da ich kein Gegenbeispiel finden konnte, bin ich davon ausgegangen, dass die Äquivalenz stimmt.

Beweis:

"1.-> 2."

Da Xn eine Cauchy Folge ist, gibt es für alle E>0 ein N aus , sodass für alle folgenden Indizes n,m die Ungleichung d(xn,xm)<E gilt.

Sei m>n. Sei k= m-n. Dann gilt:

d(xn,xm)<E -> d(xn,xn+k)<E (für alle k aus ohne 0).
Folglich ist insbesondere d(xn,xn+1)<E.
-> Für alle Epsilon*>0 gibt es einen Index N, sodass für alle folgenden Folgeglieder gilt: d(xn,xn+1)<E*


"2.->1."

Für (xn) gilt:

Für alle Epsilon>0 gibt es einen Index N, sodass für alle folgenden Folgeglieder gilt: d(xn, xn+1)<E

d(xn,xn+1)<E -> d(xn,xn+k)<E*k (für alle k aus ohne 0).

Setze m:= n+k

d(xn,xm)<E*=E(m-n)

-> Für alle E*>0 gibt es einen Index N, sodass für alle folgenden Indizes n,m gilt: d(xn,xm)<0.

Allerdings ist Epsilon in der Richtung "2.->1." von n und m abhängig, was ja eigentlich nicht sein darf. Trotzdem kann ich kein Gegenbeispiel finden, sodass die Äquivalenz nicht gilt. Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. (:
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alternative Definition von Cauchy-Folgen
Gegenbeispiele gibt es jede Menge. Nimm mit Standardmetrik. Waehle eine Folge mit , die so langsam divergiert, so dass noch gilt.
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, schau dir als Folgen mal Reihen an, die nicht konvergieren, wo aber Nullfolgen summiert werden.
Jo_maths Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, vielen Dank!
Dank eurer Tipps hab ichs sofort gesehen, die harmonische Reihe ist ein super Gegenbeispiel!

Beste Grüße!
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