2. Ableitung impliziter Funktion

24.05.2016, 20:10	coolskeleton95	Auf diesen Beitrag antworten »
2. Ableitung impliziter Funktion Meine Frage: Hi! Folgendes Problem: Ich muss in einer Aufgabe die 1. Ableitung für eine implizite Funktion im 2-dimensionalen herleiten, also zur Funktion f(x,y). Es sollte doch einfach mittels Quotientenregel auf die 1. Ableitung angewandt gehen: $\begin{eqnarray} y'= -\frac{\frac{d f}{d x}}{\frac{d f}{d y}} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} y''= -\frac{(\frac{d f}{d x})' \frac{d f}{d y} - \frac{d f}{d x} * (\frac{d f}{d y})' }{(\frac{d f}{d y})^2} = -\frac{\frac{d^2 f}{d x^2} * \frac{d f}{d y} - \frac{d f}{d x} * \frac{d^2 f}{dxdy} }{(\frac{df}{dy})^2 } \end{eqnarray}$ Nun findet man im Internet relativ schnell, dass das Ergebnis nicht richtig ist, sondern die zweite Ableitung einer impliziten Funktion tatsächlich so aussieht: $\begin{eqnarray} y'' = \frac{\frac{d^2 f}{d x^2} * (\frac{d f}{d y})^2 + \frac{d^2 f}{d y^2} * (\frac{d f}{d x}^2 - 2 * \frac{d^2 f}{dxdy} * \frac{d f}{d x} * \frac{d f}{d y}}{(\frac{d f}{d y})^3} \end{eqnarray}$ Wo ist der Fehler dabei, die Quotientenregel anzuwenden, und wie müsste ich stattdessen vorgehen, um von y' auf das richtige y'' zu kommen? lg, coolskeleton95 Meine Ideen:* s.o.
25.05.2016, 10:57	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2. Ableitung impliziter Funktion Man kann das schon mit der Quotientenregel machen, man muss es nur richtig machen. Dazu sollte man von der Schreibweise sauber zwischen der totalen Ableitung und der partiellen Ableitung unterscheiden. Zur Erhöhung der Übersichtlichkeit benutze ich für partielle Ableitungen die Indexschreibweise. Wir haben also: $\begin{eqnarray} y'=-\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=-\frac {f_x}{f_y} \end{eqnarray}$ Dann folgt nach der Quotientenregel: $\begin{eqnarray} y''=-\frac {\frac {df_x}{dx}f_y-f_x \frac {df_y}{dx}}{f_y^2} \end{eqnarray}$ Soweit ist das bei dir noch richtig. Danach kommt dein Fehler. Korrekt ist: $\begin{eqnarray} \frac {df_x}{dx}=f_{xx}+f_{xy}y' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {df_y}{dx}=f_{xy}+f_{yy}y' \end{eqnarray}$ Wenn man das und $\begin{eqnarray} y' \end{eqnarray}$ von ganz oben einsetzt, den Bruch noch mit $\begin{eqnarray} f_y \end{eqnarray}$ erweitert, alles ausmultipliziert und sortiert, kommt man auf die angegebene Formel, bei der bei dir allerdings noch ein Minuszeichen vor dem Bruch fehlt.
25.05.2016, 23:35	coolskeleton95	Auf diesen Beitrag antworten »
Spitzenantwort, einen Riesendank Dir!

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