Laurententwicklung

24.05.2016, 21:24	Runner97	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurententwicklung Guten Abend, wir haben in der Vorlesung gerade das Thema Laurentreihen eingeführt und nun verzweifele ich ein wenig an 2 Aufgaben. Zum einen soll das Konvergenzgebiet von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0 }^{\infty } z^{-k!} \end{eqnarray}$ bestimmt werden, zum anderen ist nach der Laurententwicklung von $\begin{eqnarray} \frac{e^{z}}{z^{2}+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|z\|>1 \end{eqnarray}$ gefragt. Für das Konvergenzgebiet habe ich mir überlegt, dass wir hier im Grunde ja eine gewöhnliche Potenzreihe betrachten...Könnte man $\begin{eqnarray} \frac{\|z\|^{-(k+1)!} }{\|z\|^{-k!} } \end{eqnarray}$ betrachten? Für die Laurententwicklung wäre es vermutlich gut, zunächst einmal mit der Potenzreihe zu e^z zu starten, oder? $\begin{eqnarray} \frac{e^{z}}{z^{2}+1} = \frac{\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{z^{k}}{k!} }{z^{2}+1} \end{eqnarray}$
25.05.2016, 11:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten Aufgabe liegt eine Lückenreihe vor. Bei der zweiten Aufgabe beginne mit $\begin{align} \frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{1 - \left( - \frac{1}{z^2} \right)} \end{align}$ Mit Hilfe der geometrischen Reihe kannst du das sofort als Potenzreihe in $\begin{align} \frac{1}{z} \end{align}$ angeben. Bilde anschließend das Produkt mit der Exponentialreihe. Als Koeffizienten der Laurententwicklung habe ich herausbekommen: beim Hauptteil: $\begin{align} \sin(1),\cos(1),-\sin(1),-\cos(1),\sin(1),\cos(1),\ldots \end{align}$ beim Nebenteil Reihenreste der Potenzreihen von $\begin{align} \pm \sin(1), \pm \cos(1) \end{align}$
25.05.2016, 11:45	Runner97	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, danke für die Hilfe. Bei der ersten Aufgabe habe ich mal etwas rumgerechnet und bin zu dem Schluss gekommen, dass die Reihe für alle z außerhalb der Einheitskreisscheibe konvergiert, also für $\begin{eqnarray} \|z\|>1 \end{eqnarray}$ . Nun zur Laurententwicklung... Also wenn ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z^{2}}\frac{1}{1-(-\frac{1}{z^{2}}) } \end{eqnarray}$ schreibe, dann erhalte ich daraus doch $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^{2}}\sum\limits_{k=0}^{\infty } (-\frac{1}{z^{2}})^{k} \end{eqnarray}$ . Wie mache ich es so, dass wir eine Potenzreihe in 1/z erhalten?
25.05.2016, 12:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Potenzreihe in $\begin{align} \frac{1}{z^2} = \left( \frac{1}{z} \right)^2 \end{align}$ ist doch auch eine in $\begin{align} \frac{1}{z} \end{align}$ .
25.05.2016, 20:39	Runner97	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, das ist korrekt Also ich schreibe mal auf, was ich bis hierher habe: $\begin{eqnarray} \frac{e^{z}}{z^{2}+1} = (\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{z^{n}}{n!}) (-\frac{1}{z^{2}}) \sum\limits_{n=0}^{\infty }((\frac{1}{z})^{2})^{n} \end{eqnarray*}$ Richtig? D.h., wir haben bei dieser Laurentreihe keine negativen Indizes, da wir nur von 0 bis unendlich summieren?
26.05.2016, 13:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der hintere Teil stimmt nicht. Richtig ist $\begin{align} \frac{1}{1+z^2} = \frac{1}{z^2} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^{-2n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^{-2n+2} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} z^{-2n} \end{align}$ Jetzt kann man beide Reihen miteinander multiplizieren: $\begin{align} \frac{\operatorname{e}^z}{z^2+1} = \left( \sum_{\mu=0}^{\infty} \frac{z^{\mu}}{\mu!} \right) \cdot \left( \sum_{\nu=1}^{\infty} (-1)^{\nu-1} z^{-2 \nu} \right) = \sum \limits_{\mu \geq 0, \nu \geq 1} \frac{(-1)^{\nu-1}}{\mu!} z^{\mu - 2 \nu} \end{align}$ Die Doppelreihe ordnet man nach Potenzen $\begin{align} n = \mu - 2\nu \end{align}$ von $\begin{align} z \end{align}$ und zerlegt die Laurent-Reihe gleich in ihren Haupt- und Nebenteil: $\begin{align} \frac{\operatorname{e}^z}{z^2+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \underbrace{\left( \sum \limits_{\stackrel{\mu \geq 0, \nu \geq 1}{\mu - 2\nu = n}} \frac{(-1)^{\nu - 1}}{\mu!} \right)}_{a_n} z^n \ \ + \ \ \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\left( \sum \limits_{\stackrel{\mu \geq 0, \nu \geq 1}{\mu - 2\nu = -n}} \frac{(-1)^{\nu - 1}}{\mu!} \right)}_{b_n} z^{-n} \end{align}$ Jetzt versuche noch, $\begin{align} a_n \end{align}$ und $\begin{align} b_n \end{align}$ zu vereinfachen. EDIT Schreibfehler ausgebessert
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