Träger, die Verteilungsfunktion und die Lebesguedichte von |X|^r bestimmen

24.05.2016, 22:24

Shalec

Träger, die Verteilungsfunktion und die Lebesguedichte von |X|^r bestimmen

Hallo,
folgendes Setting:

Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal A,\mathbb P) \end{eqnarray*}$
X Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ Lebesguedichte mit einer höchstens endlichen Menge D der Unstetigkeitsstellen
$\begin{eqnarray*} r\in\mathbb R_{\geq0} \end{eqnarray*}$ konstant

Die Aufgabe ist:
a) Bestimme den Träger, die Verteilungsfunktion und die (kanonische) Lebesguedichte von $\begin{eqnarray*} |X|^r \end{eqnarray*}$
b) Folgere aus a) die Verteilung von |X| und $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ .

Voraussetzungen: http://www.math.uni-bremen.de/~dickhaus/...kript-stoch.pdf
vermutlich bis einschließlich Kapitel 7

Zu a):
$\begin{eqnarray*} supp(|X|^r) \end{eqnarray*}$ ist das Bild der Abbildung. Dazu kurze Vorbetrachtungen (homogen zum Abschnitt 5.2 auf Seite 39). Die zu betrachtende Abbildung ist Komposition von Potenzieren, Betragbildung und X. Damit ist $\begin{eqnarray*} |X|^r \end{eqnarray*}$ eine "neue" Zufallsvariable. D.h. (vermutlich)
$\begin{eqnarray*} supp(|X|^r) = supp(supp( | supp(X) | )^r) \end{eqnarray*}$ (Hier den Betrag als Abbildung genauso das Potenzieren als Abbildung verstehen. Also $\begin{eqnarray*} ^r \circ |\cdot| \circ X \end{eqnarray*}$ , absolut unschöne Notation..)
Ich vermute, dass dann der Träger der Komposition aller dieser Abbildung gleich dem Träger der zu letzt ausgeführten Abbildung ist, also $\begin{eqnarray*} supp(|X|^r) = supp(g)\quad g(x)=x^r \end{eqnarray*}$

(So genau wurde der Support nicht definiert.)
Ist das bereits korrekt? Wie leite ich den Rest her? (Nur auf Aufgabe a) bezogen)

Viele Grüße und vielen Dank für die bevorstehende Mühe smile

25.05.2016, 08:03

HAL 9000

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Warum "dreimal" ineinander verschachteltes supp ? Unsinn, nach einmal supp ist man bereits bei einer Menge reeller Zahlen, und was soll davon "supp" sein???

Es ist schlicht

$\begin{align*} \operatorname{supp}\left( |X|^r \right) = \left| \operatorname{supp}(X) \right|^r \end{align*}$

wobei (wie üblich) die Operationen Betrag und Potenz rechts entsprechend mengenwertig zu verstehen sind.

Bei a) gehe einfach über die Verteilungsfunktion, dabei wird genutzt, dass für stetige Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ wie hier die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(X=x_0) \end{align*}$ sämtlich Null sind: Für $\begin{align*} t\geq 0 \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} F_{|X|^r}(t) = P\left( |X|^r \leq t \right) = P\left( |X| \leq \sqrt[r]{t} \right) = P\left( -\sqrt[r]{t} \leq X \leq \sqrt[r]{t} \right) = P\left( X \leq \sqrt[r]{t} \right) - P\left( X < -\sqrt[r]{t} \right) = P\left( X \leq \sqrt[r]{t} \right) - P\left( X \leq -\sqrt[r]{t} \right) = F_X\left(\sqrt[r]{t}\right) - F_X\left(-\sqrt[r]{t}\right) \end{align*}$ ,

für $\begin{align*} t<0 \end{align*}$ ist offenbar $\begin{align*} F_{|X|^r}(t)=0 \end{align*}$ . Die Dichte bekommt man nun einfach als Ableitung dieser Verteilungsfunktion nach $\begin{align*} t \end{align*}$ , zumindest für alle $\begin{align*} t\not\in D \end{align*}$ - und für die "höchstens endliche" (??? was unterscheidet das von "endlich" ???) Menge $\begin{align*} D \end{align*}$ kann man die Dichte ja sowieso beliebig festlegen.

25.05.2016, 10:11

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000
Warum "dreimal" ineinander verschachteltes supp ? Unsinn, nach einmal supp ist man bereits bei einer Menge reeller Zahlen, und was soll davon "supp" sein???

Es ist schlicht

$\begin{align*} \operatorname{supp}\left( |X|^r \right) = \left| \operatorname{supp}(X) \right|^r \end{align*}$

wobei (wie üblich) die Operationen Betrag und Potenz rechts entsprechend mengenwertig zu verstehen sind.

Ok, das sehe ich ein. Ich habe dabei an der Definition von supp als Bild der Abbildung gedacht.
Dabei wird das Bild von X auf das Bild vom Betrag abgebildet. Das Bild vom Betrag landet dann auf dem Bild der Potenzierung.

Zitat:

Original von HAL 9000
Bei a) gehe einfach über die Verteilungsfunktion, dabei wird genutzt, dass für stetige Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ wie hier die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(X=x_0) \end{align*}$ sämtlich Null sind: Für $\begin{align*} t\geq 0 \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} F_{|X|^r}(t) = P\left( |X|^r \leq t \right) = P\left( |X| \leq \sqrt[r]{t} \right) = P\left( -\sqrt[r]{t} \leq X \leq \sqrt[r]{t} \right) \overset{*}{=} P\left( X \leq \sqrt[r]{t} \right) - P\left( X < -\sqrt[r]{t} \right) = P\left( X \leq \sqrt[r]{t} \right) - P\left( X \leq -\sqrt[r]{t} \right) = F_X\left(\sqrt[r]{t}\right) - F_X\left(-\sqrt[r]{t}\right) \end{align*}$ ,

Diese Gleichheit von * ist mir nicht ganz so klar. Aber das sollte sich schnell klären. Danke.

Zitat:

Original von HAL 9000
für $\begin{align*} t<0 \end{align*}$ ist offenbar $\begin{align*} F_{|X|^r}(t)=0 \end{align*}$ . Die Dichte bekommt man nun einfach als Ableitung dieser Verteilungsfunktion nach $\begin{align*} t \end{align*}$ , zumindest für alle $\begin{align*} t\not\in D \end{align*}$ - und für die "höchstens endliche" (??? was unterscheidet das von "endlich" ???) Menge $\begin{align*} D \end{align*}$ kann man die Dichte ja sowieso beliebig festlegen.

Höchstens endlich ist die Formulierung der Aufgabe. Wahrscheinlich nur als Abgrenzung zu "Abzählbar" oder "höchstens Abzählbar".

Vielen Dank, das hilft mir sehr weiter. Jetzt habe ich einen Eindruck hiervon erhalten. Ich vermute, dass ich nun die Aufgabe vollständig hinbekommen werde.
Später kommen noch meine Lösungen zum Teil b), um zu überprüfen, ob ich es richtig gemacht habe smile

25.05.2016, 11:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shalec
Diese Gleichheit von * ist mir nicht ganz so klar.

Erinnerst du dich an meine "Vorrede" vor dieser Zeile:

Zitat:

Original von HAL 9000
dabei wird genutzt, dass für stetige Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ wie hier die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(X=x_0) \end{align*}$ sämtlich Null sind

Nutzen wir das doch mal für $\begin{align*} x_0=-\sqrt[r]{t} \end{align*}$ . Augenzwinkern

EDIT: Ach nein, du meintest das vorherige * - Entschuldigung für die Verwechslung. Ich lass es trotzdem mal stehen.

25.05.2016, 12:06

Shalec

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Kein Problem, das * hat sich auch bereits geklärt. smile

Ich versuche noch auf sehr nachvollziehbare Weise $\begin{eqnarray*} supp |X|^r = |supp(X)|^r \end{eqnarray*}$ zu notieren. Also rein mengentheoretisch, sodass es auch andere (denen der Stochastikkram wirklich schwer fällt) gut nachvollziehen können.

Viele Grüße

25.05.2016, 18:55

Shalec

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$\begin{eqnarray*} F_{|X|^r}(t) = F_X(\sqrt[r]{t}) - F_X(-\sqrt[r]{t}) = \int_{-\sqrt[r]{t}}^{\sqrt[r]{t}}f_X(x)dx \end{eqnarray*}$

Insgesamt ergibt sich so $\begin{eqnarray*} F_{|X|^r}(t) = \int_{-\infty}^t f_{|X|^r}(x) dx = \int_{-\sqrt[r]{t}}^{\sqrt[r]{t}}f_X(x)dx \end{eqnarray*}$ .. Dies hatte mir erst nicht viel mehr Informationen über die Dichte gebracht (Dichte bezeichnet hier nun das $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ ?) Also habe ich "einfach" mal direkt die Ableitung gebildet:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2...1%2Fr))+f(x)+dx

Per Kettenregel komme ich dann auch per Hand zu diesem Ergebnis. Damit sollte a) erledigt sein.

b) Hier sollen nun die Verteilungen gefolgert werden. Aber ich blicke den Zusammenhang zwischen Verteilung und Verteilungsfunktion nicht.

25.05.2016, 19:52

HAL 9000

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Wo genau berechnest du denn da die geforderte Dichte von $\begin{align*} |X|^r \end{align*}$ ? Erstaunt1

Ich hatte da eigentlich an

$\begin{align*} f_{|X|^r}(t) = \frac{\dd}{\dd t} F_{|X|^r}(t) = F_X'\left(\sqrt[r]{t}\right)\cdot \frac{1}{r}t^{\frac{1}{r}-1} - F_X'\left(-\sqrt[r]{t}\right) \cdot \left(-\frac{1}{r}t^{\frac{1}{r}-1}\right) = \frac{1}{r\sqrt[r]{t^{r-1}}}\cdot \left(f_X\left(\sqrt[r]{t}\right)+f_X\left(-\sqrt[r]{t}\right) \right) \end{align*}$

gedacht...

25.05.2016, 20:00

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wo genau berechnest du denn da die geforderte Dichte von $\begin{align*} |X|^r \end{align*}$ ? Erstaunt1

Die Dichte war im Wolfram-Link berechnet. Per Hand habe ich genau das Herausbekommen. Also
$\begin{eqnarray*} f_{|X|^r} = \frac{t^{\frac{1}{r}-1}}{r}(f_X(\sqrt[r]{t})-f_X(-\sqrt[r]{t})) \end{eqnarray*}$ , folglich was Äquivalentes zu deinem Ergebnis.

Bei b) ist dann ja, analog zu deinem anderen Post in meinem Thread, vorzugehen. Also $\begin{eqnarray*} F_{|X|} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{X^2} \end{eqnarray*}$ berechnen?

Edit:
Wenn dem so ist, genügt es doch egtl. nur die jeweilige Dichte anzugeben. Diese sind dann entsprechend der Dichte von eben für |X| mit r=1 und für $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ mit r=2, wegen der Uneindeutigkeit der quadratischen Wurzel, zu berechnen.

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