Beweis: Urbild von Komplementmenge= Komplementmenge vom Urbild

24.05.2016, 22:33

greka

Beweis: Urbild von Komplementmenge= Komplementmenge vom Urbild

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich interessiere mich sehr für Mathematik und denke ernsthaft darüber nach, mich für ein Mathematikstudium zu immatrikulieren. Um sicher zu gehen, dass ich meine Entscheidung nicht bereuen werde (und um zu schauen, ob ich wirklich dafür geeignet bin), habe ich mir im Internet einige Analysis 1 Vorlesungen angeschaut und die dazugehörigen Übungsblätter heruntergeladen. Da ich die Lösungsblätter nicht herunterladen kann, hoffe ich, dass ihr mir bei diesen Aufgaben helfen bzw. mir sagen könnt, ob mein Ansatz richtig ist. Vor allem folgende Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen:

Sei f:M->N eine Abbildung und B Teilmenge von N. Zeigen Sie:
f^(-1)(CB)=C(f^(-1)(B)) C steht hier für Komplementmenge

Meine Ideen:
Zuerst habe ich alle Definitionen aufgeschrieben:
f^(-1)(CB):={x elem. M: f(x) elem. N und F(x) nicht elem. B}
C(f^1(-1)(B)):={x elem. M: x nicht elem. f^(-1)(B)}

Meine Überlegung: Da hier zwei Mengen gleichgesetzt werden, könnte man zeigen, dass gilt:
f^(-1)(CB)ist Teilmenge von C(f^(-1)(B)) und
C(f^(-1)(B)) ist Teilmenge von f^(-1)(CB).

Beweis: Sei x elem. f^(-1)(CB) beliebig:
Nach def.=> x elem. M: f(x) elem. N und f(x) nicht elem. B
Nach der Definition für das Urbild gilt:
f^(-1)(B):={x elem. M : f(x) elem B}
Nach der Def. oben gilt aber:
f(x) nicht elem. B => x nicht elem. f^(-1)(B)
Da x eine Element von M ist, jedoch nicht im Urbild enthalten ist (was eine Teilmenge von M ist) gilt:
x elem. M : x nicht elem. f^(-1)(B).
und das ist genau die Definition von C(f^(-1)(B))

Jetzt das Ganze Rückwärts:
Sei x elem. C(f^(-1)(B)) beliebig.
Nach def.=> x elem. M: x nicht elem. f^(-1)(B)
=> f(x) nicht elem. B
Da B Teilmenge von N ist und x elem. M und x nicht in B sein kann, muss es in N sein, was zur Definition von f^(-1)(CB)

24.05.2016, 23:28

Guppi12

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Hallo und herzlich Willkommen im Forum

Es würde die Lesbarkeit erheblich verbessern, wenn du deine Formeln mit Latex schreiben würdest.
Zur Hilfe kannst du dafür unseren Formeleditor benutzen.

Die eine Richtung hast du richtig gelöst, bei der anderen scheint etwas durcheinandergekommen zu sein.

Zitat:

Da B Teilmenge von N ist und x elem. M und x nicht in B sein kann, muss es in N sein, was zur Definition von f^(-1)(CB)

Das macht so keinen Sinn, natürlich kann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegen (zumindest im Allgemeinen), denn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist ELement des Definitionsbereichs und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Teilmenge der Wertemenge. Deswegen macht auch "[...]muss es in N sein" keinen Sinn. Denk darüber noch einmal nach.

Ist zwar vielleicht ein bisschen umständlich aufgeschrieben, aber insgesamt sieht das schon ziemlich gut aus für jemanden, der gerade anfängt mit Universitätsmathematik. Das meiste, was man von Erstsemestern vorgelegt bekommt, ist aus formaler Sicht kaum lesbar, das ist bei dir ganz anders.

25.05.2016, 19:10

greka

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Hallo Guppi12,

Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

"Es würde die Lesbarkeit erheblich verbessern, wenn du deine Formeln mit Latex schreiben würdest.
Zur Hilfe kannst du dafür unseren Formeleditor benutzen."

Danke für den Hinweis. Werde deinen Rat in Zukunft beherzigen Big Laugh

"Die eine Richtung hast du richtig gelöst, bei der anderen scheint etwas durcheinandergekommen zu sein."

Stimmt, so wie es da steht, macht das keinen Sinn.
Ich meinte damit, da $\begin{eqnarray*} f(x) nicht\in B \end{eqnarray*}$ , muss f(x) element aus einer "anderen" Teilmenge von N sein, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)\in N \wedge f(x) nicht\in B \end{eqnarray*}$

Und genau das finden wir in der Definition von $\begin{eqnarray*} f^(-1)(CB) \end{eqnarray*}$ .

"Ist zwar vielleicht ein bisschen umständlich aufgeschrieben, aber insgesamt sieht das schon ziemlich gut aus für jemanden, der gerade anfängt mit Universitätsmathematik".

Vielen Dank smile

Ich gebe mir Mühe. Man hört ja allerlei Horrorgeschichten über das Mathestudium, da dachte ich, es könnte nicht schaden, mich schon vor Studienbeginn ein bisschen vorzubereiten.

25.05.2016, 19:34

Guppi12

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Ja, es ist nun richtig. Gut gemacht Freude

Noch ein paar Tipps zur Darstellung:

1) $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ erzeugt man mit \notin
2) Will man in Latex Dinge gruppieren, so braucht man die geschweiften Klammern {}, etwa wenn man mehr als nur ein Zeichen hochgestellt haben möchte wie bei der Umkehrfunktion: f^{-1} -> $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich gebe mir Mühe. Man hört ja allerlei Horrorgeschichten über das Mathestudium, da dachte ich, es könnte nicht schaden, mich schon vor Studienbeginn ein bisschen vorzubereiten.

Das ist sicher eine gute Idee.

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