darstellende Matrix berechnen, wenn sie eigentlich schon da steht?

25.05.2016, 17:19	Trommelmann	Auf diesen Beitrag antworten »
darstellende Matrix berechnen, wenn sie eigentlich schon da steht? Meine Frage: Ich habe folgende Abbildung $\begin{eqnarray} <br /> F: X \rightarrow AX<br /> \end{eqnarray}$ X und A sind die Matrizen. A ist gegeben. Müsste da nicht A die darstellende Matrix sein? Oder ist sie das noch nicht? Weil in einer Aufgabe müssen wir sie erst noch berechnen. Also $\begin{eqnarray} M_B^B(F) \end{eqnarray}$ (B sei mal die Basis einer allg. Matrix). Kann mir das einer erklären? Meine Ideen: Vielleicht ist bei A die Basis noch nicht berücksichtigt. Aber woher soll man das wissen?
25.05.2016, 19:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei z.B. $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} F:Mat_2\to Mat_2 \end{eqnarray}$ die Identität auf dem 4-dimensionalen Vektorraum der 2x2-Matrizen. Dieser hat z.B. die Basis $\begin{eqnarray} E_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},E_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},E_{21}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},E_{22}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und bezüglich dieser Basis ist die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
25.05.2016, 20:16	Trommelmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, aber was ist dann A? Das verstehe ich nicht. Und warum ist B dann 4x4? Diese Matrix kann man dann doch gar nicht mit einer 2x2 mutliplizieren, oder? Wie geht das dann? Tut mir Leid, ich raff' das gerade überhaupt nicht Irgendwas übersehe ich, was vermutlich selbstverständlich ist
26.05.2016, 08:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
A ist eine 2x2-Matrix, die zur Definition der linearen Abbildung F benutzt wird. B ist die Darstellungsmatrix von F bezüglich der kanonischen Basis des 4-dimensionalen Vektorraums der 2x2-Matrizen. Die kanonische Basis kann man auch als 4x1-Vektoren schreiben, weil bekanntlich alle 4-dimensionalen K-Vektorraeume isomorph sind, und diese Vektoren kann man von links mit B multiplizieren. Tipp zur Berechnung der Darstellungsmatrix eines Endomorphismus. Nimm einen Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , eine Basis $\begin{eqnarray} {v_1,...,v_n} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V\to V \end{eqnarray}$ . Berechne die Bilder $\begin{eqnarray} f(v_j)=\sum_{i=1}^n\alpha_{ij}v_i, j=1,...,n \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} M=(\alpha_{ij})_{i=1,...,n, j=1,...,n} \end{eqnarray}$ die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Mit anderen Worten: In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Koordinatenvektoren der Bilder der Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . (Genau so für Homomorphismen, nur muss man dann mit 2 Basen arbeiten.)
26.05.2016, 09:28	Trommelmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher weiß man dann, wann das eine Matrix zur Definition ist, und wann es eine Abbildungsmatrix ist? Könntest du mir vielleicht ein Beispiel geben, wie das funktioniert? Ich versteh das irgendwie nicht, wie man mit B jetzt eine 2x2 Matrix rausbekommen kann :/ Tut mir Leid

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »