Konvergenz einer Folge

25.05.2016, 19:49

FaithNoMore

Konvergenz einer Folge

Meine Frage:
Hallihallo Wink

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Folge. Für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} b_n = sup(a_m: \geq n) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Hinweis: Ist die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ monnoton? Ist sie beschränkt?
Zeigen Sie dann, dass jede Cauchy-Folge reeller Zahlen konvergiert. Benutzen sie die gegebenen Folgen, um einen Kandidaten für den Grenzwert der Cauchy-Folge zu finden.

Meine Ideen:
Kann mir möglicherweise jemand hierbei helfen? Ich weiß nicht wirklich, wo ich hier anfangen soll. Ich wäre wirklich, wirklich sehr dankbar! smile

25.05.2016, 19:53

FaithNoMore

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, es muss natürlich $\begin{eqnarray*} b_n = sup(a_m : m \geq n) \end{eqnarray*}$ heißen.

25.05.2016, 21:41

FaithNoMore

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn niemand ein wenig Hilfestellung geben? unglücklich

25.05.2016, 21:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch ein paar gute Tipps vorliegen

Zitat:

Original von FaithNoMore
Hinweis: Ist die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ monnoton? Ist sie beschränkt?

und sagst wenig später aber

Zitat:

Original von FaithNoMore
Ich weiß nicht wirklich, wo ich hier anfangen soll.

Da müssen potentielle Helfer dann doch ein wenig gründlicher nachdenken, wie sie dir helfen können.

25.05.2016, 22:02

FaithNoMore

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß leider gar nicht, was mir die Folge $\begin{eqnarray*} b_n=sup(a_m : m \geq n) \end{eqnarray*}$ überhaupt sagen möchte... unglücklich

Da steht meiner Meinung nach, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ die Folge ist, die immer das Supremum einer weiteren Folge namens $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ ist, wobei gilt, dass der Index von a immer größer ist als der Index von b. Und ich weiß nicht, was ich mit dieser Information anfangen soll, denn ich ziehe daraus leider kein Wissen über Beschränktheit und Monotonie. Natürlich lässt sich aus einem Supremum die Beschränkheit folgern und auch andersrum, aber ich weiß nicht, woher wir irgendwo solche Schlüsse ziehen können? unglücklich

25.05.2016, 22:41

FaithNoMore

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich denn herausfinden, ob sie monoton ist oder beschränkt?

27.05.2016, 15:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Monotonie: Es ist

$\begin{align*} b_n = \sup(a_n,a_{n+1},a_{n+2},\ldots) = \sup(a_n,\sup(a_{n+1},a_{n+2},\ldots)) = \sup(a_n,b_{n+1}) = \max(a_n,b_{n+1}) \end{align*}$

denn bei endlich vielen Werten ist das Supremum gleich dem Maximum. Aus letzterer Gleichung lässt sich nun wegen $\begin{align*} \max(a_n,b_{n+1})\geq b_{n+1} \end{align*}$ direkt folgern, dass $\begin{align*} (b_n) \end{align*}$ monoton fallend ist.

Zur Beschränktheit solltest du selbst mal nachdenken: $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ ist als beschränkt vorausgesetzt, d.h., es gibt eine reelle Zahl $\begin{align*} S \end{align*}$ mit $\begin{align*} |a_n|\leq S \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ . Versuche zu zeigen, dass dann auch $\begin{align*} |b_n|\leq S \end{align*}$ gilt für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ gilt.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer Folge

Verwandte Themen