Kaskadieren

25.05.2016, 21:19

Shizmo

Kaskadieren

Hallo

Zitat:

Gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0 = 0, a_1=2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}+2^{n-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ . Finden Sie eine explizite Formel für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ durch (wiederholtes) Kaskadieren.

Also ich hab das jetzt eine halbe Ewigkeit probiert und kapier einfach nicht, wie man hier "kaskadiert". Vermutlich wird 2mal kaskadiert, beim ersten mal kommt ein rekursives Glied weg, zB $\begin{eqnarray*} a_{n-2} \end{eqnarray*}$ und beim nächsten mal $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ .
Ich bin auch schon auf eine geschlossene Formel gekommen, allerdings bringt mir das nichts, weil ich es ja durch kaskadieren machen muss.
Die Definition von kaskadieren+Beispiel ist im Anhang.

$\begin{eqnarray*} a_{n}\,\,\,\,\,\, = 2\cdot a_{n-1}-a_{n-2}+2^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-1} = 2\cdot a_{n-2}-a_{n-3}+2^{n-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-2} = 2\cdot a_{n-3}-a_{n-4}+2^{n-3} \end{eqnarray*}$
..
..
$\begin{eqnarray*} a_{4} = 2\cdot a_{3}-a_{2}+2^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3} = 2\cdot a_{2}-a_{1}+2^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2} = 2\cdot a_{1}-a_{0}+2^{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0 = 0 \end{eqnarray*}$

Hat irgendwer eine Idee, wie man das angehen könnte?
Das einzige was auffällig ist, dass immer $\begin{eqnarray*} 2\cdot \end{eqnarray*}$ kommt und immer $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ , also das könnte man schon mal aufsummieren...

LG

29.05.2016, 01:03

Shizmo

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Hat niemand eine Idee? unglücklich

29.05.2016, 10:28

Huggy

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Du musst doch nur das Einsetzen fortführen. Dann bekommt man:

$\begin{eqnarray*} a_2=2^2+2=2^3-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3=2^3+2^2+2=2^4-2 \end{eqnarray*}$

usw. Dann ist die Struktur klar.

29.05.2016, 12:00

Shizmo

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Jap du hast recht, vielen Dank!! smile

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