Kürzen des Integranden

25.05.2016, 21:59

Ascareth

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Kürzen des Integranden

Guten Tag,

hier habe hier ein Problem mit einem bestimmten Integral, das sich unterscheidet, je nach dem ob ich gekürzt habe oder nicht. Ich verstehe nicht, warum das so ist, da es sich doch bei den Termen um Identitäten handelt. Ob ich also einen Term integriere oder den identischen Term, gekürzt, sollte doch kein anderes Ergebnis erzeugen. Was mache ich hier falsch?

ungekürzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{6} \frac{6}{3x + 15} dx = 6 \cdot \int_{2}^{6} \frac{1}{3x + 15} dx = 6 \cdot \left[ ln (| 3x + 15 |) \right]^{6}_{2} = 6 \cdot (ln (33) - ln (21)) = 6 \cdot ln\left( \frac{11}{7} \right) = 2,71191[...] \end{eqnarray*}$

gekürzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{6} \frac{6}{3x + 15} dx = 2 \cdot \int_{2}^{6} \frac{1}{x + 5} dx = 2 \cdot \left[ ln (| x + 5 |) \right]^{6}_{2} = 2 \cdot (ln (11) - ln (7)) = 2 \cdot ln\left( \frac{11}{7} \right) = 0,903970[...] \end{eqnarray*}$

Ich sehe wohl, dass der Faktor vor dem Integral ein anderer ist. Aber, da beide Ausdrücke, wie gesagt, identisch sind: wie kann es sein, dass da am Ende etwas anderes herauskommt?

Für mich sieht es jetzt so aus: Ich bin zum richtigen Kürzen gezwungen, da sonst am Ende das Ergebnis falsch ist. Nochmal: Wie kann das sein, wenn es sich doch um Identitäten handelt?! verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

PS: In diesem Punkt irre ich mich nicht, oder etwa doch:
$\begin{eqnarray*} \frac{6}{3x + 15} = \frac{2}{x + 5} \end{eqnarray*}$

Gruß,
Asca

25.05.2016, 22:02

Mathema

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Du meinst wohl:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{6} \frac{6}{3x + 15} dx = 6 \cdot \int_{2}^{6} \frac{1}{3x + 15} dx = 6 \cdot \left[\textcolor{red}{\frac{1}{3}} ln (| 3x + 15 |) \right]^{6}_{2} = ... \end{eqnarray*}$

25.05.2016, 22:07

Ascareth

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Ok. Da bin ich schon mal erleichtert.

Welche Regel habe ich da nicht beachtet?

25.05.2016, 22:11

Mathema

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Es muss die Ableitung vom Nenner im Zähler stehen. Die Ableitung von 3x ist aber 3.

Somit ist $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{3x+15} \, \dd x= \int \! \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{3x+15} \, \dd x=\frac{1}{3}\ln|3x+15|+c \end{eqnarray*}$

Alternativ lässt du den Faktor 3 gleich im Zähler und ziehst nur die 2 vor das Integral.

25.05.2016, 22:16

Ascareth

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Du erklärst nichts. Du zeigst nur die Lösung. Welches Ziel verfolgst du damit?

25.05.2016, 22:27

Mathema

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Kannst du lesen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Es muss die Ableitung vom Nenner im Zähler stehen.

Ich dachte das wäre klar, wenn du die Regel $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} \rightarrow F(x)=\ln|g(x)| \end{eqnarray*}$ anwenden sollt bzw. Brüche integrieren willst. Was hast du dir sonst bei deiner Rechnung gedacht?

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25.05.2016, 22:39

Ascareth

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Also was ich gemacht habe, wohl aber falsch gemacht habe, das kannst du ja bei mir Schritt für Schritt nachvollziehen.

Du gehst falsch in der Annahme, wenn du glaubst, dass es sich bei meinem Fehler nur um einen Flüchtigkeitsfehler handelt. Ich habe keine Ahnung, wie du darauf kommst, dass die Ableitung vom Nenner im Zähler stehen muss. Ich kenne diese Regel nicht unglücklich

unglücklich

Wenn du so nett wärst: könntest du vielleicht die Lösung der Aufgabe einmal Schritt für Schritt zeigen?

25.05.2016, 22:53

Mathema

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Schritt für Schritt habe ich sie schon aufgeschrieben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{3x+15} \, \dd x= \int \! \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{3x+15} \, \dd x=\frac{1}{3}\ln|3x+15|+c \end{eqnarray*}$

Was dahinter steckt ist eine Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{3x+15} \, \dd x \end{eqnarray*}$

Jetzt substituieren wir $\begin{eqnarray*} u:=3x+15 \end{eqnarray*}$

Und somit

$\begin{eqnarray*} u'=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{\dd x}=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dd u = 3\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dd x=\frac{\dd u}{3} \end{eqnarray*}$

Setzen wir ein:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{3x+15} \, \dd x=\int \! \frac{1}{u} \, \frac{\dd u}{3}=\frac{1}{3}\int \! \frac{1}{u} \, \dd u=\frac{1}{3}\ln|u|+c \end{eqnarray*}$

Ersetzen wir wieder $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ steht deine Stammfunktion da.

Damit wir diese Rechnung nicht immer machen müssen merken wir uns obige Regel. Steht die Ableitung vom Nenner im Zähler ist eine Stammfunktion "ln |Nenner|".

Das hast du anscheinend dann unwissend bei deiner 2. Rechnung angewandt, denn es ist $\begin{eqnarray*} (x+5)'=1 \end{eqnarray*}$ und da 1 im Zähler steht stimmt dort deine Integration.

25.05.2016, 22:58

Ascareth

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Erstmal vielen Dank. Ich glaube, das werde ich so verstehen. Sonst melde ich mich morgen noch mal. Ich muss erstmal zu Bett gehen. Freude

Freude

PS: Die 2. Rechnung ist die Heftlösung, die ich eben nicht nachvollziehen konnte.

30.05.2016, 13:40

Ascareth

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Eine Frage hätte ich noch. Ich rechne auf 2 Wegen und komme aber nicht auf das richtige Ergebnis. Was mache ich da falsch?

1. Weg
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{6}{3x + 15} dx = 2 \int_{}^{} \frac{1}{2} \frac{6}{3x + 15} dx = 2 \int_{}^{} \frac{3}{3x + 15} dx = 2 \int_{}^{} \frac{f'(x)}{f(x)} dx = 2 \cdot ln| 3x +15 | + C \end{eqnarray*}$

2. Weg
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{6}{3x + 15} dx = \int_{}^{} \frac{6}{u} dx = \int_{}^{} \frac{6}{u} \frac{du}{3} dx = \int_{}^{} \frac{2}{u} du = 2 \int_{}^{} \frac{1}{u} du = 2 \cdot ln|u| = 2 \cdot ln|3x + 15| + C\\ u = 3x + 15 \\ du = 3 dx \end{eqnarray*}$

Das richtige Ergebnis ist:
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot ln| x + 5| \end{eqnarray*}$

Gruß, Asca

30.05.2016, 13:58

klarsoweit

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OK. Man kann natürlich den Integranden vorab durch 3 kürzen. Das heißt, dein Ergebnis ist ebenso korrekt wie das andere. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.05.2016, 14:05

Ascareth

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Aber wenn beides richtig ist, warum bekomme ich dann unterschiedliche Funktionsgraphen geplottet, wenn ich beides in GeoGebra eingebe?

[attach]41843[/attach]

Außerdem wird mir 2 * ln |x + 5| = 2 * ln |3x + 15| als nicht äquivalent angezeigt.

Für mich sieht es momentan so aus, als würde nur auf Basis des gekürzten Ausdrucks das richtige Ergebnis errechenbar sein, was aber nicht sein kann - meinem Verständnis nach - da ein gekürzter Ausdruck äquivalent dem ungekürzten Ausdruck sein muss.

30.05.2016, 14:10

HAL 9000

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Plotte doch mal die Differenz der beiden Stammfunktionen.

30.05.2016, 14:14

Ascareth

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ok. es ist eine konstante. aber was sagt mir das?

[attach]41844[/attach]

die differenz ist "2 und ein paar zerdrückte"

30.05.2016, 14:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ascareth
ok. es ist eine konstante. aber was sagt mir das?

Dass du im Unterricht nicht aufgepasst hast, als es um die grundlegenden Eigenschaften von Stammfunktionen ging? Sorry, aber nach dem Tonfall oben

Zitat:

Original von Ascareth
Du erklärst nichts. Du zeigst nur die Lösung. Welches Ziel verfolgst du damit?

hast du das verdient. Wink

Wink

30.05.2016, 14:25

Ascareth

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Ich finde nicht, dass ich "das verdient" habe. Ich hatte klar nach einer Regel gefragt, die ich nicht eingehalten zu haben schien (eine Vermutung, die sich übrigens nachweislich als korrekt herausgestellt hat). Daraufhin kam lediglich die Lösung. Es ist mir zwar schon klar, dass dies hier kein Bezahlforum ist, und man natürlich keinen Anspruch auf irgendetwas hat. Aber ich finde, man sollte schon richtig auf die Fragen der Fragesteller eingehen, da alles weitere nur noch mehr verwirren kann; deshalb auch die Frage, was das Ziel der Antwort war. Meine Kritik halte ich deshalb für absolut nachvollziehbar und berechtigt.

Aber gut. Du siehst das anders. Sei's drum. Wink

Wink

30.05.2016, 14:29

HAL 9000

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Na da werden wir uns wohl nie einig - zurück zum Thema: Es ist gemäß Logarithmenregeln

$\begin{align*} 2\ln|3x+15| = 2\ln|3(x+5)| = 2\ln|x+5| + 2\ln(3) \end{align*}$ ,

die Stammfunktion $\begin{align*} 2\ln|x+5| \end{align*}$ reiht sich also unter $\begin{align*} 2\ln|3x+15| +C \end{align*}$ mit dem speziell gewählten Wert $\begin{align*} C=-2\ln(3)\approx -2.197 \end{align*}$ ein.

30.05.2016, 14:36

Ascareth

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Aaaahhh!

Freude

Verstehe! Vielen Dank für Deine Hilfe! Freude

Freude

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