Orthonormalbasis konkret berechnen

26.05.2016, 04:30	Chaosrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis konkret berechnen V = R^5 U = < $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1\\ 4 \\-4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ > $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ V Wie berchne ich konkret die Orthonormalbasis von U ? und wie kann ich sie zu einer Orthonormalbasis von V erweitern ?
26.05.2016, 09:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die 3-dimensionale Basis von U zu einer 5-dimensionalen Basis von V zu erweitern, benötigst du 2 weitere Basisvektoren. Diese sind gerade die beiden Basisvektoren des Lösungsraum des folgenden Gleichungssystems $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & -4 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nach Lösung dieses Gleichungssystems hast du also 5 Basisvektoren von V, die i.A. nicht orthogonal und nicht normiert sind. Um diese zu orthogonalisieren, verwendet man das sogenannte "Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren" (Guck mal unter WIKIPEDIA nach, wie das funktioniert). Das anschließende Normieren der 5 Basisvektoren auf 1 ist trivial.

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