DGL Rücksubstitution

26.05.2016, 16:43

cmplx96

DGL Rücksubstitution

Hallo zusammen,

ich bin auf ein Problem bei der Rücksubstitution gestoßen.
DGL: $\begin{eqnarray*} y^{'} = \frac{1}{x+y} \cdot x - 1 \end{eqnarray*}$
ich habe substituiert: $\begin{eqnarray*} z = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$
und bin dann hier gelandet:
$\begin{eqnarray*} -\ln(x) + C = \frac{1}{2}\ln(z+2) + \frac{1}{2}\ln(z) \end{eqnarray*}$
für die Rücksubstitution versuche ich jetzt nach z aufzulösen:
$\begin{eqnarray*} -2\ln(x) + 2C = \ln(z+2) + \ln(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-2\ln(x) + 2C} = e^{\ln(z+2) + \ln(z)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{-2}\cdot e^{2C} = z^{2} + 2z \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt einsetze:

$\begin{eqnarray*} x^{-2}\cdot e^{2C} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + 2\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}\cdot e^{2C} = \frac{y^{2}}{x} + 2y \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, dass ich einmal y² und einmal y in der Gleichung habe.
Ich würde aber gerne eine Gleichung y = ... angeben, die nicht von weiteren y abhängt.
Laut WolframAlpha ist meine Lösung bis zur Rücksubstition richtig.
Bei WolframAlpha wurde dann aber ohne weitere Zwischenschritte dieses Ergebnis angegeben:

$\begin{eqnarray*} y(x) = x(\frac{\sqrt{x^{2}(x^{2}+C)}}{x^{2}}-1) \end{eqnarray*}$
und das gleiche in negativ.

Kann mir jemand erklären, wie man die Rücksubstitution erfolgreich angeht?
Danke im Voraus!

26.05.2016, 17:03

Helferlein

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RE: DGL Rücksubstitution
Löse $\begin{align*} 0 = z^{2} + 2z-cx^{-2} \end{align*}$ mittels pq-Formel und führe erst danach die Rücksubstitution $\begin{align*} y=zx \end{align*}$ durch.

26.05.2016, 17:05

Mathema

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Zitat:

Mein Problem ist, dass ich einmal y² und einmal y in der Gleichung habe.

Schon mal was von der pq-Formel gehört?

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{x}=\frac{y^2}{x}+2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2+2xy-c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)=-x\pm \sqrt{x^2+c} \end{eqnarray*}$

Das bestätigt Wolfi doch.

26.05.2016, 17:25

cmplx96

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oh, da habe ich garnicht dran gedacht.
Danke euch beiden!

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