Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen

26.05.2016, 21:07

0815

Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen

Hallo alle miteinander,
ich komme dank meines Holzkopfs mal wieder bei einem Beispiel nicht voran. verwirrt

Ich soll folgende Funktionen betrachten:
$\begin{eqnarray*} f_1(x,y)=e^{-x^2-4y^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x,y)=x^4-x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ .
Beide Funktionen soll ich auf Beschränktheit und Stetigkeit prüfen, alle nichtleeren Niveaumengen bestimmen und skizzieren und auf die Existenz von Minimum und Maximum prüfen und diese(s) gegebenenfalls bestimmen.
Für f2 soll ich weiters die Schnitte durch den Graphen für x = const bzw. y = const bestimmen.

Im Prinzip hätte ich schon ein paar Ansätze (meinen Fortschritt werde ich im Folgenden auflisten), aber ich bin mir bei allem extrem unsicher, da unser Skriptum zwar ein paar Definitionen, aber praktisch keine Beispiele/Anwendungen enthält. Für Hilfe bzw. Korrekturen wäre ich daher sehr dankbar!

Meine Überlegungen bisher:

Soweit ich bisher durch Recherche herausgefunden habe, müssten beide Funktionen stetig sein, da sie aus stetigen Funktionen bestehen.
Demnach müsste f1 auch beschränkt sein (der "x-Teil" und "y-Teil" wären separat ja beschränkt) und f2 nicht.
Allerdings haben wir keine Definition zur Beschränktheit von Funktionen mit mehreren Variablen, das ist also rein geraten. Müsste man das bzw. die Stetigkeit noch anders zeigen, oder kann man das wirklich so argumentieren? Ein Beweis ist in meiner Aufgabe nicht (explizit) verlangt.

Niveaumengen sind ja alle Mengen, für die gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(x,y)=c \end{eqnarray*}$ (tut mir leid, wenn hier etwas mit den Dimensionen schiefgegangen ist - unser Skriptum schreibt Vektoren willkürlich manchmal an und manchmal nicht, es ist daher für mich nicht immer klar, was gemeint ist) - also quasi die "Lösungen" dieser Gleichung.
Für f1 müsste das dann $\begin{eqnarray*} -x^2+4y^2 = \ln(c) \end{eqnarray*}$ sein, also c > 0 als Voraussetzung und dann eben in Abhängigkeit von c die entsprechenden Kurven zeichnen (irre ich mich darin, dass es Hyperbeln sind?).
Für f2 hätte ich, wenn ich x² herausziehe $\begin{eqnarray*} x^2(x^2-1)+y^2=c \end{eqnarray*}$ - wie bestimme ich da die Kurve, ohne in WolframAlpha etc. einzutippen? Wir haben bisher nur Kurven mit Quadraten bei den Variablen betrachtet... unglücklich

Eine weitere Frage: muss ich noch auf weitere Bedingungen für Lösbarkeit achten als den Definitionsbereich von ln(x)? Da ich "alle" Niveaulinien zeichnen soll, hätte ich mal angenommen, dass es da noch weitere Einschränkungen geben sollte, die ich bisher übersehen habe, denn mit c aus den reellen Zahlen müsste es im Prinzip ja unendlich viele davon geben? Oder nimmt man beim Zeichnen grundsätzlich immer nur die ganzzahligen c? Erstaunt2

Wir haben als Voraussetzung gelernt, dass ein Minimum/Maximum nur dann vorliegen kann, wenn der Definitionsbereich kompakt ist - in der Angabe handelt es sich aber um ganz R². Da die reellen Zahlen nicht beschränkt sind (gehen ja bis plus/minus unendlich) hätte ich daraus behauptet, dass es keine Extremwerte geben kann.
Zumindest für f2 wird aber später auf "das Minimum" zurückgegriffen - es müsste also doch eines geben.
Zum Finden solcher Extremwerte hab ich natürlich wieder keine Unterlagen - das Einzige, was ich bisher dazu durch Recherchieren entdeckt habe ist, dass die Niveaulinien an solchen Stellen Punkte sind. Nur wie finde ich das gezielt? Ich steh da komplett auf der Leitung... unglücklich

Das wäre dann im Grunde auch "schon" alles. Die Schnitte von f2 sollte ich selbst (notfalls computerunterstützt Augenzwinkern

) hinbekommen.

Vielen Dank im Voraus für Erklärungen, Verweise auf solche oder Korrekturen meiner bisherigen Überlegungen! Gott

27.05.2016, 10:18

Huggy

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RE: Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen

Zitat:

Soweit ich bisher durch Recherche herausgefunden habe, müssten beide Funktionen stetig sein, da sie aus stetigen Funktionen bestehen.

So generell kann man das nicht sagen. Betrachte als Gegenbeispiel die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x/y \end{eqnarray*}$ . Die ist bei $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$ unstetig. Die Summe stetiger Funktionen ist aber wieder stetig, womit $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ und der Exponent von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ stetig sind. Damit ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ die Komposition (Verschachtelung) zweier stetiger Funktionen und die ist auch wieder stetig.

Zitat:

Für f1 müsste das dann $\begin{eqnarray*} -x^2+4y^2 = \ln(c) \end{eqnarray*}$ sein

Das stimmt nicht mit deiner obigen Definition von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ überein. Danach hätte man

$\begin{eqnarray*} x^2+4y^2=c \geq 0 \end{eqnarray*}$

Es genügt, den Exponenten zu betrachten. Das sind Ellipsen.

Zitat:

Für f2 hätte ich, wenn ich x² herausziehe $\begin{eqnarray*} x^2(x^2-1)+y^2=c \end{eqnarray*}$ - wie bestimme ich da die Kurve, ohne in WolframAlpha etc. einzutippen?

Das kannst du doch simpel nach y auflösen. Es ergeben sich 2 Äste. Damit die Wurzel reell ist, muss man den zulässigen Bereich von c beschränken.

Zitat:

Wir haben als Voraussetzung gelernt, dass ein Minimum/Maximum nur dann vorliegen kann, wenn der Definitionsbereich kompakt ist

Das stimmt nicht. Du meinst wahrscheinlich, wenn eine Funktion stetig ist und ihr Definitionsbereich kompakt, dann hat sie ein Maximum und ein Minimum. Das sind hinreichende Bedingungen, aber keine notwendigen Bedingungen.

Bei $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ musst du nur überlegen, wie der Bereich von c eingeschränkt ist. Ein Minimum oder Maximum von c führt automatisch zu einem Extremwert der Funktion.

27.05.2016, 16:50

0815

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RE: Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen

Zitat:

Tut mir leid, da hab ich mich zu ungenau ausgedrückt; gemeint war eh das, was du geschrieben hast. Ups

Zitat:

Ups, hab das Vorzeichen falsch abgeschrieben. geschockt

Vielen Dank!
Wäre es mit $\begin{eqnarray*} -x^2-4y^2=\ln(c) \end{eqnarray*}$ richtig gewesen? (Abgesehen davon, dass ich mir das Logarithmieren sparen könnte?)

Zitat:

Das kannst du doch simpel nach y auflösen. Es ergeben sich 2 Äste. Damit die Wurzel reell ist, muss man den zulässigen Bereich von c beschränken.

Dankesehr - war offenbar schon ~~etwas~~ sehr betriebsblind. Ups

Da habe ich jetzt $\begin{eqnarray*} y=\pm\sqrt{c-x^4+x^2} \end{eqnarray*}$ , die Wurzel muss größer gleich Null sein --> $\begin{eqnarray*} c-x^4+x^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Da ich aus diesem Ausdruck nicht sehe, welche Werte c annehmen darf (vielleicht ginge es, aber ich sehe es nicht), hätte ich jetzt x² = t substituiert und die quadratische Gleichung -t² + t + c = 0 gelöst -> $\begin{eqnarray*} t_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+c} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} c\geq -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ . Das sollte zumindest bei Gleichheit gelten? Muss ich für den Fall $\begin{eqnarray*} c-x^4+x^2>0 \end{eqnarray*}$ noch etwas anderes beachten oder gilt dieses Ergebnis dort auch (falls überhaupt)? Mein Kontakt mit quadratischen Ungleichungen war bisher sehr flüchtig...

Zitat:

In der Tat, ich habe übersehen, dass ich der Satz auf stetige Funktionen auf kompakten Mengen bezieht. Forum Kloppe

Leider bin ich aber nicht sicher, ob ich verstehe, wie ich jetzt vorgehen soll. Für f1 wäre der kleinste Wert von c jetzt wohl Null und bei f2 -1/4. Sind das dann die Werte an meinen Extrempunkten und wenn ja, wie komme ich dann darauf, wo diese auftreten? verwirrt

Abgesehen von dem obigen Satz schweigen sich meine Unterlagen nämlich leider aus... Ich kann ja wohl nicht einen beliebigen Wert für entweder x oder y wählen und den anderen Wert anhand davon und c bestimmen, oder?

27.05.2016, 19:35

Huggy

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RE: Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen

Zitat:

Wäre es mit $\begin{eqnarray*} -x^2-4y^2=\ln(c) \end{eqnarray*}$ richtig gewesen?

Ja.

Zitat:

Das kann man so machen. Alternativ schreibst du um:

$\begin{eqnarray*} c\geq x^4 -x^2=g(x) \end{eqnarray*}$

und suchst das Minimum von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ . Man bekommt auf beide Weise dein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} c\geq -\frac {1}{4} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Für f1 wäre der kleinste Wert von c jetzt wohl Null

Ja, bei meiner Variante für c. Und bei gegebenem c hat man

$\begin{eqnarray*} f_1(x, y)=e^{-c} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} e^{-c} \end{eqnarray*}$ eine streng monoton fallende Funktion von c ist, ergibt das kleinste c das Maximum von $\begin{eqnarray*} f_1(x,y) \end{eqnarray*}$ . Damit hast du den Wert der Funktion am Maximum und die zu $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ gehörenden Werte für x und y sind offensichtlich.

Zitat:

und bei f2 -1/4.

Ja. Und da hier bei gegebenem c ja $\begin{eqnarray*} f(x,y)=c \end{eqnarray*}$ gilt, ist das das Minimum von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ . Aus der Bestimmung des Minimums von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ bekommst du die zugehörigen x-Werte und aus denen die zugehörigen y-Werte.

27.05.2016, 23:31

0815

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RE: Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen
Vielen Dank! So langsam wird mir einiges klar(er) bei diesem Beispiel. smile

Zitat:

Verstehe ich das richtig, dass ich g(x) quasi als "normale" Funktion (in einer Variable) ansehe, mir dort die x-Werte ausrechne, und dann die entsprechenden y-Werte dazu?

28.05.2016, 08:12

Huggy

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RE: Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen

Zitat:

Original von 0815
Verstehe ich das richtig, dass ich g(x) quasi als "normale" Funktion (in einer Variable) ansehe, mir dort die x-Werte ausrechne, und dann die entsprechenden y-Werte dazu?

Ja.
g(x) ist eine Funktion in einer Variablen. Man muss sie dazu nicht auf besondere Art ansehen.

28.05.2016, 15:07

0815

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RE: Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen
In Ordnung, ich glaube, jetzt verstehe ich alles, was ich für diese Aufgabe brauche.
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe! smile

28.05.2016, 15:36

Huggy

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RE: Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen
Als "Bonbon" noch ein Bildchen mit den Niveaulinien von $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ für c = 0.2, 0.1, 0, -0.1, -0.2, -0.24 (von außen nach innen).

[attach]41819[/attach]

28.05.2016, 18:10

0815

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RE: Funktionen in 2 Variablen - Stetigkeit, Beschränktheit, Niveaumengen
Dankeschön! smile

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