Aufgabe Abbildung Matrizen

27.05.2016, 14:06

Mr_Spaten

Aufgabe Abbildung Matrizen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich muss eine Aufgabe lösen die da lautet:
Gegeben sind die beiden Matrizen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Was bewirken diese beiden Matrizen als Abbildung $\begin{eqnarray*} f_D : \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_S : \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ anschaulich?
und
Gilt $\begin{eqnarray*} f_D \circ f_S = f_S \circ f_D \end{eqnarray*}$ ? Argumentieren Sie geometrisch (Anschauung) und rechnerisch.

Meine Ideen:
Ist es richtig für die erste Frage die Matrizen jeweils mit der 2x2-Einheitsmatrix zu multiplizieren und dann das Ergebnis anhand der Einheitsvektoren geometrisch zu interpretieren?

Bei der zweiten Frage würde ich für die Komposition die Abbildungen, also die neuen Matrizen, $\begin{eqnarray*} f_D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_S \end{eqnarray*}$ miteinander multiplizieren und das Ergebnis betrachten.

Sind diese Ansätze richtig?

27.05.2016, 14:20

HAL 9000

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Beides sind Orthogonalmatrizen. Anschaulich beschrieben handelt es sich bei den zugehörigen Abbildungen demnach um Drehungen oder Spiegelungen - was nun genau und mit welchem Drehwinkel bzw. Spiegelungsachse, kannst du dir mal Gedanken machen.

Zitat:

Original von Mr_Spaten
Bei der zweiten Frage würde ich für die Komposition die Abbildungen, also die neuen Matrizen, $\begin{eqnarray*} f_D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_S \end{eqnarray*}$ miteinander multiplizieren und das Ergebnis betrachten.

Das wäre zumindest der angesprochene "rechnerische" Weg.

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