Tangentenschnittpunkt, Inkreismittelpunkt des entstehenden Dreiecks

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentenschnittpunkt, Inkreismittelpunkt des entstehenden Dreiecks
Hallo,

ich habe total Probleme beim folgenden Beweis.
Es seien zwei Punkte auf einem Kreis K gegeben.
Es ist zu zeigen:
Der Schnittpunkt der Tangenten liefert den Punkt C.
Der Inkreismittelpunkt des entstehenden Dreiecks abc liegt auf dem Kreis K.

Das ganze soll erst analytisch bewiesen werden, dann elementar.
Ich habe zwar die Idee für folgendes Vorgehen:
1) Tangenten bestimmen durch a und b mittels Formel
2) Schnittpunkt der Tangenten (LGS)
3) Inkreismittelpunkt des entstehenden Dreiecks mit Formel für diesen bestimmen.

Das scheint mir alerdings viel zu kompliziert, da ich ja durchgehend nur mit Parametern arbeite.

Seht ihr einen einfachereren Ansatz?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte sich das Koordinatensystem passend zurecht "drehen", dann wird die Rechnung sehr viel übersichtlicher:

Ich würde die x-Achse gleich der Mittelsenkrechten von ab wählen...

Allerdings ist hier m.E. der elementargeometrische Beweis einfacher als der analytische.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sitze jetzt seit Stunden an dem Mist dass kann doch nicht so schwer sein.
Alle Ansätze erweisen sich falsch, womit muss ich denn nur anfangen?
Ich habe polare, Tangenten, deren Schnittpunkt....ich komme nicht auf einen grünen Zweig.
Habe jetzt auch den elementaren versucht...nichts...das gibt's doch nicht.
Was muss ich mir denn klarmachen um den verflixten Beweis zu führen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der elementargeometrische Beweis ist doch wirklich nicht so schwer: (ich bezeichne die Eckpunkte wie üblich mit Großbuchstaben) ist ein gleichschenkliges Dreieck, alle Winkel lassen sich über relativ einfache Betrachtungen (hauptsächlich über gleichschenklige bzw. rechtwinklige Dreiecke) auf den Sektorwinkel zurückführen, dabei sei O der Mittelpunkt des Ausgangskreises.

Und da der genannte Inkreismittelpunkt bekanntlich der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von ist, reicht es für diesen Schnittpunkt nachzuweisen, dass er auf dem Ausgangskreis liegt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei der Mittelpunkt von . Definiere als Schnittpunkt von mit der Strecke . In den Dreiecken und besitzen die Winkel bei bzw. aus Symmetriegründen dieselbe Größe . Diese Winkel sind aber Sehnen-Tangentenwinkel (zwischen der Sehne und der Tangente bzw. zwischen der Sehne und der Tangente ) und damit gleich groß wie die Umfangswinkel dieser Sehnen. Im Dreieck ist aber der Winkel bei ein Umfangswinkel der Sehne und der Winkel bei ein Umfangswinkel der Sehne . Diese beiden Winkel besitzen also auch die Größe .
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe einfach den zusammenhang nicht. Ich weis nicht wo ich auf der leitung stehe.
Ich sehe ein dass das entstehende dreieck gleichschenklig ist und damit die winkelhalbierende durch c gleich ihrer höhe.
Ich sehe es einfach nicht
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Konsequenz nicht.
Ich sehe ein was ihr sagt, auch die Skizze verstehe ich (Peripheriewinkel), aber mir ergibt sich keine Konsequenz bzw. nicht, warum daraus folgt, dass der Punkt auf dem Kreis liegt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
warum daraus folgt, dass der Punkt auf dem Kreis liegt.

Weil so definiert ist:
Zitat:
Original von Leopold
Definiere als Schnittpunkt von mit der Strecke .

Zu zeigen ist daher noch, daß auf den Winkelhalbierenden von liegt. Dazu dienen die Winkelbetrachtungen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@forbin

Es gibt hier prinzipiell zwei Vorgehensweisen:

1) Leopolds Vorschlag: Man definiert als Schnittpunkt von mit , und weist dann nach, dass auf den Winkelhalbierenden liegt.

2) Man definiert als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und weist dann nach, dass auf liegt. Das liegt inhaltlich etwas näher am Originaltext der Aufgabe, und war auch mein erster Vorschlag oben.

Beide Varianten funktionieren - man muss sich nur für eine entscheiden und kann dann nicht mittendrin hin- und herwechseln. Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

mit der Skizze von HAL ist der "analytische Weg" ein Einzeiler mit I(i/0) Augenzwinkern

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist in etwa die analytische Umsetzung des elementargeometrischen Wegs 2):

Aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke folgt für gegebenes unmittelbar . Für die Winkelhalbierende von folgt damit

.

Per Winkelsumme im Dreieck folgt damit weiter

.

Aus folgt die Gleichschenkligkeit des Dreiecks , also , somit liegt auf .


P.S.: Sieht sehr viel länger aus, das liegt aber nur an der exorbitanten Ausführlichkeit der Darstellung. Big Laugh
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich glaube, ich hab's.
Danke euch vielmals!!
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