Rotation mittels komplexer Zahl

27.05.2016, 17:22	kopfnuß	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotation mittels komplexer Zahl Hallo! Der Ausdruck ist folgender: $\begin{eqnarray} \vec{r} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha ) & -\sin(\alpha ) & \\ \sin(\alpha ) & \cos(\alpha )& \end{pmatrix} \vec{p} \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht recht wie ich hier rangehen soll.... Bei komplexen Zahlen war ich schon immer recht fit. Könnte mir jemand helfen ? Mein Versuch: Der Vektor p sollte so aussehen $\begin{eqnarray} \vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ jy \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ausmultipliziert hätte ich dann die Ausdrücke: $\begin{eqnarray} \vec{rx} = x\cos(\alpha ) - jy\sin(\alpha )=\sqrt{x^2+y^2} e^{ -jx } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{ry} = y\cos(\alpha ) + jx\sin(\alpha )=\sqrt{x^2+y^2} e^{ jx } \end{eqnarray*}$
27.05.2016, 20:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die imaginäre Einheit $\begin{align} \operatorname{j} \end{align}$ ist fehl am Platz in den Koordinaten von $\begin{align} \vec{p} \end{align}$ und $\begin{align} \vec{r} \end{align}$ . Denn das sind ja Vektoren des $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ . Am besten beginnst du mit der komplexen Darstellung und übersetzt sie in die reelle. Es seien $\begin{align} z = x + \operatorname{j}y \end{align}$ und $\begin{align} w = u + \operatorname{j}v \end{align}$ komplexe Variable in kartesischen Koordinaten. Die Abbildung $\begin{align} z \mapsto w \end{align}$ mit $\begin{align} w = az \ \ \text{mit} \ \ \|a\|=1 \end{align}$ beschreibt eine Drehung um den Ursprung. Man kann $\begin{align} a = \operatorname{e}^{\operatorname{j} \alpha} \end{align}$ schreiben, wenn $\begin{align} \alpha \end{align}$ der Drehwinkel ist. Jetzt mußt du eigentlich nur noch in $\begin{align} w = \operatorname{e}^{\operatorname{j} \alpha} \cdot z \end{align}$ die kartesischen Darstellungen von $\begin{align} z,w \end{align}$ einsetzen, den Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen verwenden, alles schön ausmultiplizieren und in Real- und Imaginärteil zerlegen. Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil kannst du $\begin{align} u,v \end{align}$ in Abhängigkeit von $\begin{align} x,y \end{align}$ angeben. Und zum Schluß dann die Übersetzung in die reelle Vektorgeometrie: $\begin{align} \vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{r} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \end{align}$
28.05.2016, 14:03	kopfnuß	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so ? $\begin{eqnarray} z = a +jb \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} w = u+jv \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w = e^{j\alpha } z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w = (\cos(\alpha )+j\sin(\alpha ) )(a+jb) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w = a\cos(\alpha )+jb\cos(\alpha ) +aj\sin(\alpha ) -b\sin(\alpha ) \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} u = acos(\alpha )-bsin(\alpha ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} jv=ajsin(\alpha )+jbcos(\alpha ) \end{eqnarray}$ Dann ist u meine neue, um den Winkel alpha gedrehte x-koordinate und jv die Imaginäre also die y-koordinate ?
28.05.2016, 17:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Von mir aus - wir schreiben $\begin{align} a=x \end{align}$ und $\begin{align} b=y \end{align}$ . Deine Rechnung stimmt. Jetzt laß das $\begin{align} j \end{align}$ weg, dann hast du $\begin{align} v \end{align}$ . Und was bekommst du in der Gleichung $\begin{align} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{align}$ für $\begin{align} u \end{align}$ und $\begin{align} v \end{align}$ heraus?
28.05.2016, 20:51	kopfnuß	Auf diesen Beitrag antworten »
Na meine ausgerechneten Gleichungen u und v. Nur ohne die Imaginäre Zahl j. Also u=acos(alpha)-bsin(alpha) v=asin(alpha)+bcos(alpha) Somit ist die Aufgabe, wie gefordert, mit Hilfe der komplexen Zahlen gelöst ?

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