wann gilt (grad(f))(x)=x ?

27.05.2016, 17:38

halil1992

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wann gilt (grad(f))(x)=x ?

guten abend ;D
ich hätte eine frage zu der aufgabe:
[attach]41811[/attach]

wir wissen von der definition: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\delta f}{\delta x_1}(x_0) \\ ... \\ \frac{\delta f}{\delta x_n}(x_0)\end{pmatrix} := (grad \medspace f)(x_0)<br /> \end{eqnarray*}$ ist der gradient von f an $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$
ich würde den gradient = 0 setzen aber weiß nicht wie ich das so allgemein überhaupt machen und angehn soll .

ich bin für jeden ansatz und jede hilfe sehr dankbar!!

mfg

27.05.2016, 22:03

Dopap

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etwas vorsichtiger angehen, du meinst

$\begin{eqnarray*} \mathfrak {grad}( f(x))= \vec 0 \end{eqnarray*}$ , also alle partiellen Ableitungen sind Null.

Welche Funktionen leisten das ?

27.05.2016, 23:02

halil1992

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hey, danke für die antwort!

das würden alle konstanten funktionen leisten
also $\begin{eqnarray*} f(x)=c \end{eqnarray*}$ wobei c eine beliebige zahl aus den reelen Zahlen darstellt.

wie kann ich das formal bestimmen bzw. berechnen?
diese aufgabe besteht zwar nur aus ein satz aber ist bestimmt komplexer als es scheint :o

danke schonmal und viele grüße

27.05.2016, 23:28

sockenschuss

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Ich les grade mit. Kannst du mir erklären warum du den Gradienten 0 setzen willst?

27.05.2016, 23:39

halil1992

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danke für die antwort ;D

dachte dann hätt ich die "punktmenge" wo der gradient wegfällt, sozusagen die extremstellen.

oder ist der ansatz von grund auf falsch, bzw wie muss ich vorgehen?

viele grüße

27.05.2016, 23:57

sockenschuss

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Ich stehe da leider auf dem Schlauch. Ich kann mir nicht erklären wie dich das im sinne der abgebildeten Aufgabe weiterbringt. Ich bin da ein bisschen blöd. Sorry wenn ich bei der Lösung gestört haben sollte.

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28.05.2016, 02:08

Dopap

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Der Gradientenvektor steht "normalerweise" senkrecht auf einer Niveaulinie zeigt die Richtung des stärksten Anstiegs an. Nur ist bei f(x)=c ist die ganze Ebene z=c
eine "Niveaulinie".

manchmal sind Aufgaben so gestaltet, nur um zu überprüfen ob mitgedacht wird.

28.05.2016, 09:35

IfindU

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@Dopap:

Laut Aufgabe ist aber $\begin{eqnarray*} \nabla f(x) = x \end{eqnarray*}$ und damit nur in der 0 wieder 0. Ich muss mich sockenschuss anschliessen -- ich weiß nicht was das so wirklich bringt.

28.05.2016, 10:59

Huggy

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Damit es aber mal mit der tatsächlichen Aufgabe weitergeht: Es sei $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ . Es sind alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ gesucht, für die gilt

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial x_1}=x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial x_2}=x_2 \end{eqnarray*}$

Das ist doch wirklich nicht schwer!

28.05.2016, 12:45

halil1992

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RE: wann "verschwindet" gradient?
hey!

das wären dann alle f(0,0), oder?
wie kann ich das nun formal bestimmen

viele grüße

28.05.2016, 14:03

Huggy

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RE: wann "verschwindet" gradient?
Völliger Unfug!
Was hast du nur dauernd mit den Nullen. Davon ist in der Aufgabe nirgends die Rede. Integriere doch einfach mal. Aus

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial x_1}=x_1 \end{eqnarray*}$

folgt doch

$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=\int x_1 dx_1 =\frac {1}{2}x_1^2+c \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du dir Gedanken über c machen. Wäre f nur von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ abhängig, wärst du schon fertig. Dann wäre c einfach eine Konstante. f ist aber auch eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das für c?

P.S. Ändere mal die Überschrift! Von einem verschwindenden Gradienten ist in der Aufgabe nirgends die Rede.

28.05.2016, 18:29

halil1992

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RE: wann "verschwindet" gradient?
hey.

da ja folgt
$\begin{eqnarray*} <br /> 1*) f(x_1,x_2)=\int x_1 dx_1 =\frac {1}{2}x_1^2+c<br /> 2*) f(x_1,x_2)=\int x_2 dx_2 =\frac {1}{2}x_2^2+c<br /> \end{eqnarray*}$

und zu

Zitat:

Jetzt musst du dir Gedanken über c machen. Wäre f nur von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ abhängig, wärst du schon fertig. Dann wäre c einfach eine Konstante. f ist aber auch eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das für c?

beim 1*) wird x_2 als konstante c aufgefasst und bei 2*) wird x_1 als konstante gewertet.

da, wie du schon erwähnt hast
$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial x_1}=x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial x_2}=x_2 \end{eqnarray*}$ gilt, müssen also x_1 UND x_2 konstante werte sein.

also würden dann alle funktionen der bauart $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=x_1*0+x_2*0+c \end{eqnarray*}$ das erfüllen? bzw ohne das c?
dann wären das die x-y-ebene die je nach konstante sich nach oben oder unten in z-richtung bewegt.

oder ist das der falsche weg?
(den titel kann ich glaub ich leider nicht ändern)

viele grüße,

28.05.2016, 19:36

Huggy

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RE: wann "verschwindet" gradient?

Zitat:

Original von halil1992
da, wie du schon erwähnt hast
müssen also x_1 UND x_2 konstante werte sein.

also würden dann alle funktionen der bauart $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=x_1*0+x_2*0+c \end{eqnarray*}$ das erfüllen? bzw ohne das c?

Irgendwie kommst du von den Nullen nicht weg!

Nein, die in 1*) auftauchende Konstante c kann noch von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ abhängig sein. Sie ist nur von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ unabhängig. Aus 2*) folgt nun, dass c die Gestalt

$\begin{eqnarray*} c=\frac {1}{2}x_2^2 +d \end{eqnarray*}$

haben muss. Zusammen ergibt das:

$\begin{eqnarray*} f(x_1, x_2)=\frac {1}{2}x_1^2+\frac {1}{2}x_2^2+d \end{eqnarray*}$

Die Konstante d muss von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sein, ist also bezüglich aller Variablen in f konstant. Das ist schon das Endergebnis, das du durch partielles Ableiten noch mal prüfen kannst.

28.05.2016, 20:04

sockenschuss

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Ihr habt es geschafft. Man könnte die Konstante im Sinne der Aufgabenstellung auch weglassen.
Als Überschrift könnte man vielleicht etwas mit Gradientenfunktion und identischer Funktion wählen.
Dann ist das Meisterwerk perfekt.

28.05.2016, 20:09

sockenschuss

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Oh nein, man kann sie nicht weglassen, sorry. Sie darf aber auch null sein, als Trost für halil

29.05.2016, 07:45

IfindU

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Um noch einmal auf den Anfang des Threads zurück zu kommen. Offenbar ist die Frage also welche $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ es gibt. die $\begin{eqnarray*} 2grad f(x) = grad ( x \mapsto x_1^2 + x_2^2) \end{eqnarray*}$ erfuellen. Das ist aequivalent zu $\begin{eqnarray*} grad(x\mapsto 2f(x) - x_1^2 - x_2^2) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Damit kann man nun sauber zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac { x_1^2 + x^2_2}2 \end{eqnarray*}$ , bis auf die additive Konstante, eindeutig bestimmt ist.

29.05.2016, 09:31

Dopap

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ist es eigentlich üblich, nachdem man f als eine Funktion R^2 --> R vorgestellt hat, auf jedwede Form der vektoriellen oder Tupeldarstellung zu verzichten ? also keine Fettschrift, keinen Unterstrich und schon erst recht nicht mit Vektorpfeil. verwirrt

verwirrt

29.05.2016, 09:41

sockenschuss

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Zitat:

ist es eigentlich üblich...

Frag ich mich auch. Bei den Schreibweisen bin ich irgendwie ins Schleudern gekommen.
Die Aufgabe stammt aber aus einem Fachbuch Analysis 2 und wurde noch etwas abgewandelt.
@IfindU: Wo zauberst du jetzt aus der Aufgabenstellung jetzt die 2 her?

29.05.2016, 10:05

10001000Nick1

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@Dopap: Kommt drauf an, ob du Physiker oder Mathematiker bist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei ersteren sehe ich fast immer die Schreibweise mit Vektorpfeil oder fettgedruckt. Matrizen werden oft doppelt unterstrichen.
Mathematiker verwenden nach meiner Erfahrung (fast) nur die Schreibweise ohne Vektorpfeile etc.

Ich persönlich finde es ziemlich nervig, wenn ich bei den Physikern über jeden Vektor einen Pfeil machen muss. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2016, 10:33

Guppi12

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Mathematiker verwenden nach meiner Erfahrung (fast) nur die Schreibweise ohne Vektorpfeile etc.

Kenne ich bei Mathematikern auch nicht anders. Ich persönlich sehe Elemente des R^n auch einfach nicht als Pfeile, sondern eben als Punkte, es macht in meiner Vorstellung garkeinen Sinn, da einen Pfeil drüber zu malen. Über reelle Zahlen male ich ja auch keinen Pfeil, das sind auch Vektoren. Ich denke, dass relativ viele Mathematiker diese Sichtweise haben. Mal ganz abgesehen davon werden im Studium recht bald Integrale über beliebige Maßräume eingeführt. Da machen Pfeile dann überhaupt keinen Sinn mehr, warum dann in einem Spezialfall dazu zurückkehren.

Wenn für Physiker Vektoren in natürlicher Weise fast immer Pfeile sind, macht es für die natürlich hingegen schon Sinn, das sehe ich ein. Da gibt es eben einen Unterschied in der Anwendung.

29.05.2016, 10:48

IfindU

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Zitat:

Original von sockenschuss
@IfindU: Wo zauberst du jetzt aus der Aufgabenstellung jetzt die 2 her?

Nirgendwo. Ich habe bloss $\begin{eqnarray*} x = grad ( \frac 1 2 \|x \|^2) \end{eqnarray*}$ umgeschrieben. (Die Notation vertraeglicher?)

@Dopap: Wenn du eine Funktion $\begin{eqnarray*} L: C^0(\mathbb R^2, C^0(\mathbb R, \mathbb R)) \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hast, also punktweise ausgewertet $\begin{eqnarray*} [[L(f)](x)](y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , ueber was malst du Pfeile, ueber was nicht?

Edit: Vergessen den Zielbereich anzugeben.

29.05.2016, 11:18

Dopap

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Bei ersteren sehe ich fast immer die Schreibweise mit Vektorpfeil oder fettgedruckt. Matrizen werden oft doppelt unterstrichen.
Mathematiker verwenden nach meiner Erfahrung (fast) nur die Schreibweise ohne Vektorpfeile etc.

Wir haben früher eben deutsche Buchstaben verwendet , aber wer kann die noch ?

Der Bronstein macht aber konsequent Unterstrich und Doppeltunterstrich. Fand das bei den vielen Schreibfiguren bei Quaternionen sehr hilfreich.

na ja, bei R²->R sollte man "eben wissen was gemeint ist". Pech für die Anfänger unglücklich

unglücklich

29.05.2016, 12:10

sockenschuss

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Zitat:

Nirgendwo.

Mit "Anfang des Threads" hatte ich die Aufgabenstellung assoziiert.

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