Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren

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28.05.2016, 11:06	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} V\subset \mathbb R ^{4} \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum mit Basis $\begin{eqnarray} w_{1},w_{2},w_{3} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} w_{1}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , w_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , w_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimme Orthonormalbasis $\begin{eqnarray} v_{1},v_{2},v_{3} \end{eqnarray}$ mit Hilfe des Schmidt'schen Orthonormalisierungsverfahren! Meine Ideen: Ich habe mich streng an die Vorschrift gehalten und bin auf folgendes Ergebnis gekommen: $\begin{eqnarray} v_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,v_{2}=\frac{\sqrt{14}}{14}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} ,v_{3}=\frac{7}{7\sqrt{133} }\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann ich irgendwie kontrollieren, ob das Ergebnis stimmt, da ich mir nicht sicher bin, ob das Ergebis stimmt?
28.05.2016, 11:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Brüche kannst Du noch kürzen, dann sieht man sofort, dass diese 3 Vektoren die Länge 1 haben, das ist schon mal gut. Wenn die 3 Skalarprodukte $\begin{eqnarray} v_1v_2,v_1v_3,v_2v_3 \end{eqnarray}$ auch noch 0 sind, ist Dein Ergebnis ein Orthonormalsystem. Erzeugen sie denselben 3-dimensionalen Untervektorraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ? Nachtrag: $\begin{eqnarray} v_1v_2<0 \end{eqnarray}$ . Da stimmt was nicht
28.05.2016, 11:47	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren Also $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ ist auf jeden Fall richtig, denn das berechnet sich ja einfach aus $\begin{eqnarray} \frac{w_{1}}{\|\|w_{1}\|\|} \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} v_{2} \end{eqnarray}$ war ein Vorzeichenfehler in der Rechnung. Richtig wäre: $\begin{eqnarray} v_{2}=\frac{\sqrt{6} }{6}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} v_{3} \end{eqnarray}$ müsste demnach $\begin{eqnarray} v_{3}=\frac{\sqrt{21} }{21}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein.
28.05.2016, 11:57	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren Das müsste jetzt stimmen, denn die Skalarpordukte sind nun auch null. Danke für die schnelle Hilfe!
28.05.2016, 12:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Brüche kürzen : $\begin{eqnarray} \frac {\sqrt a}a=\frac 1 {\sqrt a} \end{eqnarray}$ ... ... ... und man sieht sofort, dass $\begin{eqnarray} \|\|v_3\|\|\ne 1 \end{eqnarray}$
28.05.2016, 13:33	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren Ich finde den Fehler nicht. Meine Rechnung ist doch $\begin{eqnarray} \sqrt{(\frac{2}{3})^{2}+(-\frac{2}{3})^{2}+(\frac{2}{3})^{2}+1^{2} } \end{eqnarray}$ Und das muss im Nenner stehen. Wenn ich dann noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ aus dem Vektor herausziehe, komme ich auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{21}} \end{eqnarray}$ vor dem Vektor. Aber wie du gesagt hast, ist der Betrag dann nicht 1
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28.05.2016, 15:00	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren Wo habe ich einen Fehler gemacht?
28.05.2016, 17:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das weiß ich nicht, und ich habe keine allzu große Lust, die Rechnung zu machen. Wenn Du sie machst und veröffentlichst, schaue ich mir sie an. (2,-2,2,1) hat die Länge $\begin{eqnarray} \sqrt {13} \end{eqnarray}$
28.05.2016, 18:30	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren $\begin{eqnarray} v_{1}=\frac{w_{1}}{\\|w_{2}\\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{2}=\frac{1}{\\|w_{2}- \langle v_{1},w_{2} \rangle v_{1}\\|} \cdot w_{2}- \langle v_{1},w_{2} \rangle v_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \langle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}{ \\|\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \langle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}{\\|\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{3}=\frac{w_{3}- \langle v_{1},w_{3} \rangle v_{1} - \langle v_{2},w_{3} \rangle v_{2}}{\\|w_{3}- \langle v_{1},w_{3} \rangle v_{1} - \langle v_{2},w_{3} \rangle v_{2}\\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =...= \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}{\\|\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{3}} \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ \-\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{21}} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So...
28.05.2016, 18:48	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren Edit: in der letzten Zeile ist die zweite Komponente des ersten Vektors $\begin{eqnarray} -\frac{2}{3} \end{eqnarray}$
28.05.2016, 19:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ... jetzt muss ich aber erst mal Champions League gucken ... morgen ist ja auch noch ein Tag ... ... ach nee, ist doch ganz einfach ... 3 in der letzten Komponente statt 1, damit ist das Quadrat der Norm tatsächlich 4+4+4+9=21 Anmerkung: Es genügt immer, die Vektoren im Zähler zu berechnen, und dann deren Norm, durch die geteilt wird. Zähler und Nenner getrennt zu berechnen ist ein wesentlich größerer Aufwand, kostet mehr Zeit und ist fehleranfällig (wie man sieht ) .

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