Wann sind Polynome Elemente eines Ideals?

28.05.2016, 12:43	c4p0	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann sind Polynome Elemente eines Ideals? Meine Frage: Hallo matheboard.de, In unserer aktuellen Hausaufgabe sollen wir überprüfen, ob ein bestimmtes Polynom p in einem von dem Polynom q = x^2+x-2 \in \mathbb R[x] erzeugten Ideal (q) liegt. Für die erste Teilaufgabe wird uns p = (x^2+x-2)(x^7-19x^2+51)+17x+19 gegeben. Ich kann mir unter der erzeugung eines Ideals noch nicht viel vorstellen, deshalb wüsste ich gerne, wie man so eine Aufgabe bearbeitet. Meine Ideen: Für die erste Teilaufgabe ergibt sich ja offensichtlich, dass p = q(x^7-19x^2+51)+\frac{17x+19}{q}. Aber was genau sagt mir das aus? Dass es einen "Restteil" des Polynoms p gibt, dass nicht von q erzeugt wird? Das würde ja schließlich bedeuten, dass p\not \in (q). Vielen Dank im Voraus
28.05.2016, 12:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das von $\begin{align} q = x^2 + x - 2 \end{align}$ erzeugte Ideal $\begin{align} I \end{align}$ enthält alle Polynome der Gestalt $\begin{align} q \cdot r \end{align}$ mit $\begin{align} r \in \mathbb{R}[x] \end{align}$ , also alle Vielfachen von $\begin{align} q \end{align}$ . Zu deinem Polynom $\begin{align} p = \left( x^2 + x - 2 \right) \left( x^7 - 19x^2 + 51 \right) + 17x + 19 \end{align}$ erfinde ich ein weiteres Polynom: $\begin{align} s = \left( x^2 + x - 2 \right) \left( 2x^5 -11x^3 + 12 \right) + x^3 - 3x + 2 \end{align}$ Eines des beiden Polynome $\begin{align} p,s \end{align}$ liegt nun in $\begin{align} I \end{align}$ , das andere nicht. Wenn du herausfindest, welches es ist, geht dir vielleicht auch ein Licht auf, worauf es bei der Untersuchung ankommt.
28.05.2016, 13:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu spät
28.05.2016, 13:29	Murmelviech	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mit Polynomdivision (q als Teiler) herausgefunden, dass q s Restfrei teilen würde, also: $\begin{eqnarray} \exists! a\in \mathbb R[x]: s = a\cdot q \Rightarrow s\in (q) \end{eqnarray}$ . Für p bleibt nach der Polynomdivision ein Rest übrig $\begin{eqnarray} \frac{17x+19}{q} \not\in \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ , weshalb $\begin{eqnarray} p \not\in (q) \end{eqnarray}$ . Stimmt das so?
28.05.2016, 17:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche, Quotienten zu vermeiden, denn du bist nur in einem Ring. Ich hätte so argumentiert: $\begin{align} q \end{align}$ ist vom Grad 2 und kann aus Gradgründen das Polynom $\begin{align} 17x+19 \end{align}$ vom Grad 1 nicht teilen.
28.05.2016, 17:41	Murmelviech	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke Dir
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28.05.2016, 18:08	Murmelviech	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wann sind Polynome Elemente eines Ideals? Kann man nicht auch über die Nullstellen agieren? Wenn ich die Nullstellen von q berechne, dann müssen das ja auch (nicht alle) Nullstellen von p sein, da q ansonsten p in der faktorisierten Form nicht teilen würde.
29.05.2016, 11:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Nullstellen zu arbeiten gilt in der Algebra nicht als elegant, wenn man sich mit Polynomringen beschäftigt. Bei reellen Polynomen muss man im allgemeinen mit komplexen Nullstellen rechnen, bei rationalen oder ganzzahligen Polynomen ebenso. Außerdem ist es bei Polynomen höheren Grades keine leichte Aufgabe, Nullstellen zu bestimmen. Bei endlichen Körpern, algebraischen Körpern, lokalen Körpern wird alles noch viel verwickelter, da ist es doch viel schöner, die Theorie der Teilbarkeit in Polynomringen zu nutzen, d.h. mit den Idealen zu rechnen.

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