Ring, Einheiten & (max.) Ideale (bayr. Examen Frühjahr 1989, II, 2) |
28.05.2016, 13:55 | steph88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ring, Einheiten & (max.) Ideale (bayr. Examen Frühjahr 1989, II, 2) Seien K ein Körper und R der Ring der fastkonstanten Folgen in K, d.h. mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Man zeige: a) Zu jedem gibt es eine Einheit mit . b) Zu jedem endlich erzeugte Ideal von gibt es ein Idempotent mit . (Hinweis: Sind und Idempotente von , so zeige man, dass auch ein Idempotent ist und damit ist.) c) Die Menge bildet ein maximales Ideal in , das nicht endlich erzeugt ist. d) Für jedes sei mit 0 an der Stelle n und 1 an allen anderen Stellen. Dann ist die Menge aller von M verschiedenen maximalen Ideale von R. Leider bin ich bei der Aufgabenstellung ziemich planlos, und hab an den meisten Stellen noch nicht mal eine Ansatzidee. Aktuell bin ich so weit: a) Sei Einheit Fall 1: somit: Fall 2: .....???? Was mir außerdem bewusst ist, ist, dass für alle Einheiten ( mit ) , die erfüllen gilt: d.h. Existiert eine Einheit mit so ist x schon das Inverse Element zur Einheit u. Ich seh nur nicht wie mir das weiterhilft. b) ich kann ohne Probleme ausrechnen / zeigen dass und somit g idempotent. Aber was nützt mir das? Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe und Tipps |
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28.05.2016, 14:41 | steph88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ansatz bei c) Mein bisheriger Ansatz zur c) zeige: 1. M ist Ideal (zeige hierfür: a) M ist Unterring und b) ) 2. M ist nicht endlich erzeugt und maximal 1 a) - M nicht leer da Nullfolge trivialerweise in M enthalten - , da für alle Folgen in M per Definition ein ab dem die Folgenglieder konstant =0 sind. - gilt , da die Addition und Multiplikation komponentenweise definiert ist, d.h. . Somit ist sobald i und j so groß, dass die Folgenglieder von g und h konstant null werden, da dann auch die Differenz der Folgenglieder = 0. und sobald entweder i oder j groß genug, sodass alle nachfolgenden Folgenglieder von g oder h konstant null sind. ist Unterring Mit ähnlicher Begründung gilt auch 1b) ) Betrachtet man und so ergibt sich aufgrund der komponentenweisen Multiplikation: bzw. für i außreichend groß gewählt, sodass das Folgenglied und alle folgenden ebenfalls =0. noch zz: 2. M ist nicht endlich erzeugt und maximal ...?????? (Wie) |
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28.05.2016, 18:30 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ansatz bei c) Ich würde bei a) die Gleichung umschreiben in und mir überlegen, was das für die Folgenglieder bedeutet. |
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28.05.2016, 19:56 | steph88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ansatz bei c)
Ahhh... nette Idee. die Gleichung wäre dann erfüllt wenn die Folgenglieder von x entweder null sind, oder wenn sie invers zu den Folgengliedern von u sind. Und die Folgenglieder der werden dadurch nicht zu sehr eingeschränkt, da die Folgenglieder ja jeweils aus dem Körper K stammen, der ja - da Körper - auch immer die Inversen enthält, und so finde ich ein u, welches an den Stellen, an denen x Folgenglieder ungleich 0 hat, eben die Inversen zu diesen Folgengliedern trägt. Da die Folgenglieder von x ab einem bestimmten Index n konstant den gleichen Wert annehmen, nehmen auch die Folgendglieder von u ab einem selbigen Index einen konstanten (nämlich den inversen) Wert an und liegen somit auf jeden Fall auch wieder in R. - sehe ich das richtig? ... super danke! jetzt muss ich nur noch rausfinden, wie ich das einigermaßen schön aufs Papier bringe! |
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