Integral Substituieren

28.05.2016, 17:16	Fenrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Substituieren Hey, ich bearbeite gerade folgende Aufgabe: Die Funktion f: R -> R sei für jedes a>0 über [-a,a] integrierbar. Zeigen Sie: Ist f gerade, so gilt: $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{a} \! f(x) \, dx = 2\int_{0}^{a} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ Also mit dem Satz der Intervalladditivität des Integrals kommt man ja auf: $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{a} \! f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} \! f(x) \, dx + \int_{0}^{a} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ Jetzt muss man ja 'nur' noch zeigen, dass das erste Integral genauso groß wie das zweite ist. Der Professor hat mir den Tipp gegeben das über eine Substitution zu probieren. Vorweg: Ich bin noch ziemlich unsicher was das angeht. Teilweise verwirrend welchen Teil man Ableiten muss bzw. wie man was genau ersetzt. Ich setze also x=-y. Die Ableitung davon ist ja (-y)'=-1. Jetzt müssen ja noch die Grenzen angepasst werden. Hier tue ich mich generell etwas schwer. Ich bin mir nicht sicher ob ich die alten Grenzen für x oder y einsetzen muss In diesem Fall würde ja das gleiche rauskommen, aber generell bin ich mir da unsicher wie es bei komplizierteren Substitutionen gemacht werden muss. $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{0} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{0} \! f(y) * -1\, dy = -\int_{a}^{0} \! f(y) \, dy = \int_{0}^{a} \! f(y) \, dy \end{eqnarray*}$ Bin mir nur nicht sicher, was ich damit genau anfangen soll. Rein intuitiv ist mir natürlich klar, dass eine gerade Funktion diese Gleichung erfüllt, da sie ja an der y-Ache gespiegelt ist und somit der Flächeninhalt unter der Funktion auf beiden Seiten gleich ist, allerdings weiß ich nicht wie man das jetzt mathematisch korrekt zeigt. Hoffe mir kann da helfen, wie es ab da weitergehen könnte.
28.05.2016, 17:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Substituieren An der unteren Grenze ist $\begin{eqnarray} -a=x=-y \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} y=a \end{eqnarray}$ - wie du es richtig gemacht hast. Du musst nur noch dein Ergebnis in die Formel der Intervalladditivität einsetzen und bist fertig.
28.05.2016, 17:41	Fenrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort: Wenn ich das dann wieder einsetze komme ich ja auf: $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{a} \! f(x) \, dx = \int_{0}^{a} \! f(y) \, dy + \int_{0}^{a} \! f(x) \, dx = 2\int_{0}^{a} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ Ich tue mich etwas schwer mit dem letzten Gleichzeichen. Bei einer geraden Funktion gilt ja f(x)=f(-x), was das Gleichzeichen wohl legitim macht, da x mit -y substituiert wurde. Wenn ich das ganze jetzt aber Rücksubstituieren würde, sodass ich dann wirklich f(-x) explizit da stehen habe, dann würden sich die Grenzen doch auch wieder ändern, sodass bei den beiden Integralen wieder nicht die gleichen Grenzen stehen würden Evtl. kann mir jmd. erläutern warum das so schon gültig ist.
28.05.2016, 18:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal zurück: Die Substitution $\begin{eqnarray} x=-y \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{0} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{0} \! f(-y) (-1)\, dy \end{eqnarray}$ Die Integrationsgrenzen vertauscht man und korrigiert das mit dem Faktor (-1) $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{0} \! f(x) \, dx = \int_{0}^{a} \! f(-y) \, dy \end{eqnarray}$ Bisher gilt das recht allgemein. Jetzt kommt die Voraussetzung ins Spiel, dass f gerade ist. $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{0} \! f(x) \, dx = \int_{0}^{a} \! f(y) \, dy \end{eqnarray}$
28.05.2016, 18:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube es geht darum, dass da jetzt ein $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ steht und kein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mehr. Das ist aber nur die Integrationsvariable, ein Platzhalter. Platzhalter kann man beliebig umbenennen. Ob da nun $\begin{eqnarray} f(x)dx, f(y)dy \end{eqnarray}$ oder sogar $\begin{eqnarray} f(Hibedaddel)d(Hibedaddel) \end{eqnarray}$ steht, ist völlig egal.
28.05.2016, 18:26	Fenrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh danke. Habs jetzt raus, hatte mich wohl etwas dumm angestellt Danke für eure Antworten!
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28.05.2016, 18:54	Fenrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur nochmal um sicherzugehen: Dann hätte ich mich ja oben verschrieben und es muss heißen: $\begin{eqnarray} \int_{-a}^{0} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{0} \! f(-y) -1\, dy = -\int_{a}^{0} \! f(-y) \, dy = \int_{0}^{a} \! f(-y) \, dy = \int_{0}^{a} \! f(y) \, dy \end{eqnarray*}$ , wobei das letzte Gleichzeichen nur gilt, wenn f gerade ist.
28.05.2016, 18:56	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf fehlenden Klammern ist das richtig.

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