Stochastische Unabhängigkeit mittels Randdichten

28.05.2016, 17:49

Shalec

Stochastische Unabhängigkeit mittels Randdichten

Hallo,
ich habe diesmal folgende Aufgabe und würde gerne etwas Unterstützung beim Lösen haben.

Seien X und Y reellwertige Zufallsvariablen. Der bivariate Zufallsvektor (X,Y) besitzt die Lebesguedichte $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases} e^{-y} & \text{falls } 0\leq x\leq y\\ 0& sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$ . Zu berechnen sind die Randdichten $\begin{eqnarray*} f_X\text{ und }f_Y \end{eqnarray*}$ . Weiterhin muss entschieden werden, ob die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind.

Zu den Randdichten:
$\begin{eqnarray*} f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy = \int_{x}^{\infty} e^{-y} dy = e^{-x} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx = \int_{0}^{y} e^{-y} dx = ye^{-y} \end{eqnarray*}$

insofern hier keine Fehler unterlaufen sind, sollte dies korrekt sein. (trivialer Weise Big Laugh

)

Nun ist ein Prüfkriterium $\begin{eqnarray*} P(X\in A', Y\in B')= P(X\in A')\cdot P(Y\in B') \end{eqnarray*}$ , d.h. ich müsste zu allen drei Dichten die Verteilungsfunktion bestimmen und nachrechnen.
Ich könnte aber auch überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} F_{X,Y}=F_X\cdot F_Y \end{eqnarray*}$ oder sogar $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} = f_X\cdot f_Y \end{eqnarray*}$ ?

In einem Buch (Henze - Stochastik für Einsteiger) habe ich letztere Aussage auch gelesen, jedoch war die Wortwahl nicht eindeutig (genug), sodass ich nicht direkt sehen konnte, dass: "X,Y genau dann stochastisch unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}=f_X\cdot f_Y \end{eqnarray*}$ ." Nun habe ich eine solche Aussage im Skript gesucht und bin fündig geworden. Damit ist meine obige Vermutung bereits belegt.

Wende ich $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} = f_X\cdot f_Y \end{eqnarray*}$ auf das vorliegende Beispiel an, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} f_X(x)f_Y(y) = \begin{cases} e^{-x}ye^{-y}=ye^{-(x+y)} &\text{falls } 0\leq x\leq y\\ 0 & sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$
ich würde jetzt sagen, dass es (offensichtlich) ungleich $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} \end{eqnarray*}$ ist und somit die Variablen X,Y stochastisch abhängig sind.

Viele Grüße

28.05.2016, 17:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shalec
Nun ist ein Prüfkriterium $\begin{eqnarray*} P(X\in A', Y\in B')= P(X\in A')\cdot P(Y\in B') \end{eqnarray*}$ , d.h. ich müsste zu allen drei Dichten die Verteilungsfunktion bestimmen und nachrechnen.
Ich könnte aber auch überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} F_{X,Y}=F_X\cdot F_Y \end{eqnarray*}$

Richtig, diese beiden Aussagen gelten uneingeschränkt.

Zitat:

Original von Shalec
oder sogar $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} = f_X\cdot f_Y \end{eqnarray*}$ ?

Hier muss man etwas weiter ausholen: So wie die Dichten stetiger Zufallsgrößen nur fast überall eindeutig bestimmt sind, so muss als Kriterium für Unabhängigkeit auch die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y) \end{eqnarray*}$

nur $\begin{eqnarray*} \lambda^{(2)} \end{eqnarray*}$ -fast überall gelten, dabei meine ich mit $\begin{eqnarray*} \lambda^{(2)} \end{eqnarray*}$ das zweidimensionale Lebesgue-Maß.

Zitat:

Original von Shalec
Wende ich $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} = f_X\cdot f_Y \end{eqnarray*}$ auf das vorliegende Beispiel an, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} f_X(x)f_Y(y) = \begin{cases} e^{-x}ye^{-y}=ye^{-(x+y)} &\text{falls } 0\leq x\leq y\\ 0 & sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Grenzen der Fallaufteilung sind falsch: Als Produkt der Dichten bekommst du hier

$\begin{eqnarray*} f_X(x)f_Y(y) = \begin{cases} e^{-x}ye^{-y}=ye^{-(x+y)} &\text{falls } 0\leq x,\, 0\leq y\\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Schlußfolgerung, dass das "nicht unabhängig" bedeutet, ist aber richtig.

28.05.2016, 19:05

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Ah, ok. Sehe ich ein.

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Schlußfolgerung, dass das "nicht unabhängig" bedeutet, ist aber richtig.

Gut, Dankeschön smile

Eine andere Frage:
ist $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c& \text{falls } 0\leq x\leq 3\text{ und } 0\leq y\leq 1\\ 0& sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$ , dann sind
$\begin{eqnarray*} f_X(x) = \int_0^1 c dy = c \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \int_0^3 c dx = 3c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f_X(x)\cdot f_Y(y) = \begin{cases} 3c^2 & 0\leq x\leq 3\text{ und } 0\leq y\leq 1\\ 0& sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$
Jetzt würde ich c bestimmen, indem ich prüfe:
$\begin{eqnarray*} c= 3c^2 \Leftrightarrow c=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . D.h. X und Y sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , oder?

28.05.2016, 19:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shalec
ist $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c& \text{falls } 0\leq x\leq 3\text{ und } 0\leq y\leq 1\\ 0& sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$ , dann sind
$\begin{eqnarray*} f_X(x) = \int_0^1 c dy = c \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \int_0^3 c dx = 3c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f_X(x)\cdot f_Y(y) = \begin{cases} 3c^2 & 0\leq x\leq 3\text{ und } 0\leq y\leq 1\\ 0& sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$
Jetzt würde ich c bestimmen, indem ich prüfe:
$\begin{eqnarray*} c= 3c^2 \Leftrightarrow c=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . D.h. X und Y sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , oder?

Es gibt nur ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , so dass dein $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Dichte ist (Integral über die Dichte muss 1 ergeben!!!). Insofern ist diese deine Diskussion über mehrere $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ schon ziemlich fragwürdig.

28.05.2016, 19:17

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, daran habe ich garnicht gedacht. Danke für den Hinweis.
Da hier $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ muss ich für die Lebesguedichte folgendes nachrechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^2} f_{X,Y} d(x,y) =1 \end{eqnarray*}$
Es ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^2} f_{X,Y} d(x,y) = \int_{0}^1 \int_{0}^3 c dx dy = 3c \overset{!}{=} 1 \Leftrightarrow c=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Dieses c ist das in den Vorbetrachtungen gefundene c und sollte damit zur stochastischen Unabhängigkeit führen.

Neue Frage »

Antworten »

Stochastische Unabhängigkeit mittels Randdichten

Verwandte Themen