Erwartete Kosten von logarithmisch verteilten Schadensfällen

28.05.2016, 17:58

Weißhandlur

Erwartete Kosten von logarithmisch verteilten Schadensfällen

Meine Frage:
Gegeben ist eine Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_Xi(x)=p^x/(-ln(1-p)*x), x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und 0 sonst. Wobei Xi die Kosten des i-ten Schadensfalls angibt. Außerdem weiß man, dass die Anzahl an jährlichen Schadensfällen einer Poissonverteilung unterliegt mit $\begin{eqnarray*} \lambda = -ln(1-p) \end{eqnarray*}$
Nun soll ausgerechnet werden, mit welchen Gesamtkosten eine Versicherung pro Jahr durch die Schadensfälle rechnen muss.

Meine Ideen:
Meine Idee wäre gewesen, über die folgende Gleichung auf die Lösung zu kommen. Hierbei gilt: X ist eine Zufallsvariable, die die Gesamtkosten m aller Schadensfälle darstellt. Y wäre die Anzahl an Schadensfällen n.
Somit: $\begin{eqnarray*} Pr[X=m]=\sum\limits_{n=0}^{\infty} Pr[X=m|Y=n]*Pr[Y=n]=\sum\limits_{n=0}^{\infty} Pr[X=m|Y=n]*(-ln(1-p))^n/(e^{-ln(1-p)}*n!) \end{eqnarray*}$
nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.
Dann kann man am Ende über das Lambda auf den Erwartungswert von X schließen.
Es ist mir nun aber nicht möglich, Pr[X=m|Y=n] zu berechnen.
Ich habe keine Idee, wie ich von der Dichtefunktion auf irgendetwas vernünftiges kommen soll.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?

28.05.2016, 18:11

HAL 9000

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I.a. nimmt man ja an, dass die Verteilung der Einzelschadenskosten $\begin{align*} X_i \end{align*}$ unabhängig von der Anzahl $\begin{align*} Y \end{align*}$ der Schadensfälle ist - bei dir auch? Falls ja, dann ergibt sich bei identischer Verteilung der $\begin{align*} X_i \end{align*}$ (scheint ja bei dir auch der Fall zu sein) für die Verteilung der Gesamtkostensumme $\begin{align*} X = \sum_{i=1}^Y X_i \end{align*}$ der Erwartungswert $\begin{align*} E[X] = E[X_1]\cdot E[Y] \end{align*}$ , wie eine kurze Rechnung mit dem von dir erwähnten Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt.

Für die Varianz folgt mit ähnlicher Rechnung übrigens $\begin{align*} V[X] = V[X_1]\cdot E[Y] + (E[X_1])^2\cdot V[Y] \end{align*}$ .

29.05.2016, 16:06

Weißhandlur

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Ok danke schon mal. Den Erwartungswert von X kann ich jetzt noch nachvollziehen.
Aber wie sieht es dann mit der Poissonverteilung aus?
Kann ich einfach sagen $\begin{eqnarray*} Pr[X=m]=\sum\limits_{k=0}^{\infty } (n*p)/(-(1-p)*ln(1-p))*((-ln(1-p)^n)/(e^{-ln(1-p)}*n!)) \end{eqnarray*}$ ?

Dann käme am Ende raus, dass Pr[X=m]= p/(1-p) ist.

29.05.2016, 16:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Weißhandlur
Dann käme am Ende raus, dass Pr[X=m]= p/(1-p) ist.

Für alle $\begin{align*} m\in\mathbb{N} \end{align*}$ ??? Du solltest wissen, dass es keine Gleichverteilung auf $\begin{align*} \mathbb{N} \end{align*}$ gibt, das widerspricht der geforderten Wktsumme $\begin{align*} \sum_m Pr[X=m] = 1 \end{align*}$ . Die genaue Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\begin{align*} X \end{align*}$ ist nichttrivial in der Berechnung (üble Faltungsformeln usw.). Für die Berechnung des Erwartungswerts $\begin{align*} E[X] \end{align*}$ ist das aber ja auch gar nicht nötig, s.o.

29.05.2016, 16:55

Weißhandlur

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Okay aber die Aufgabe besteht ja darin, dass man ausrechnen soll, mit wie vielen Kosten das Versicherungsunternehmen pro Jahr rechnen muss. Deshalb diese Poissonverteilung. Wie würdest du das dann machen? Weil einfach nur der Erwartungswert von X langt nicht. Der gibt ja nicht die Rate an, sprich: er gibt nur an mit wie vielen Kosten man bei n Schadensfällen rechnen muss.

29.05.2016, 16:57

Weißhandlur

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Ach so, moment oben hast du geschrieben E[X]=E[Xi]*E[Y], damit wäre dann Pr[X=m|Y=n]=E[Xi] und E[Y]=Pr[Y=n]? Kann irgendwie ja nicht sein, weil dann E[Xi] nicht von n abhängt. Ich bin verwirrt.

29.05.2016, 17:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Weißhandlur
damit wäre dann Pr[X=m|Y=n]=E[Xi] und E[Y]=Pr[Y=n]?

Wieso setzt du die Wahrscheinlichkeitswerte gleich den Erwartungswerten??? Fürchterlicher Unsinn, sofort aus dem Gedächtnis streichen. unglücklich

Du hast die Verteilungen der $\begin{align*} X_i \end{align*}$ und $\begin{align*} Y \end{align*}$ vorliegen, also kannst du doch auch die benötigten Erwartungswerte berechnen (bzw. im Fall der Poissonverteilung von $\begin{align*} Y \end{align*}$ reicht auch "nachschauen").

P.S.: Ich weiß gerade nicht, warum du hier so "durch die Gegend irrst". Ich hatte angenommen, du willst $\begin{align*} E[X] \end{align*}$ berechnen, und deswegen meinen ersten Beitrag oben so verfasst. Aber anscheinend verfolgst du andere Ziele - mir ist nicht klar, welche, und wozu. unglücklich

29.05.2016, 17:42

Weißhandlur

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Ja das Problem ist, dass ich selbst nicht so wirklich weiß, was ich da eigentlich machen soll...
Ich habe einfach nciht wirklich eine Idee, wie ich die jährlich zu erwartenden Kosten ausrechnen kann.
Weil wie du es gemacht hast, ist es nur der Erwartungswert von X, aber nicht in Abhängigkeit der Zeit.

29.05.2016, 17:56

HAL 9000

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Man kann in der Tat verschiedene Aspekte einer solchen zufälligen Schadenssumme X betrachten, z.B., mit welcher Wahrscheinlichkeit irgendeine Schranke nicht überschritten wird usw.

Aber wenn du von

Zitat:

Original von Weißhandlur
Ich habe einfach nciht wirklich eine Idee, wie ich die jährlich zu erwartenden Kosten ausrechnen kann.

sprichst, dann ist damit der Erwartungswert $\begin{align*} E[X] \end{align*}$ gemeint.

Zitat:

Original von Weißhandlur
aber nicht in Abhängigkeit der Zeit.

Hallo? Wir reden hier den ganzen Thread schon über den festen Zeithorizont "1 Jahr". Das kommt implizit über $\begin{align*} Y \end{align*}$ (bzw. deren Poissonverteilungsparameter) mit rein, denn $\begin{align*} Y \end{align*}$ kennzeichnet ja die zufällige "Anzahl an jährlichen (!) Schadensfällen".

29.05.2016, 18:21

Weißhandlur

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Ah okay, dass heißt, da Y Poissonverteilt ist, könnte man sagen, dass E[Y]=lamda=-ln(1-p) ist.
Dann müsste man also E[X]=E[Xi]*E[Y]=(-ln(1-p)*p)/(-(1-p)ln(1-p)) rechnen?

29.05.2016, 18:29

HAL 9000

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Anscheinend hast du hier $\begin{align*} E[X_1]=\frac{p}{-(1-p)\ln(1-p)} \end{align*}$ eingesetzt. Ja, der Wert stimmt.

29.05.2016, 18:44

Weißhandlur

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Sehr schön, das heißt, dass nach Umformen tatsächlich p/(1-p) rauskommt. Es handelt sich aber schon um den Erwartungswert von X und nicht um Pr[X=m].
Danke dir für deine Hilfe smile

29.05.2016, 18:49

HAL 9000

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Ich hab mir nochmal deinen ganzen Formelwust im Thread angeschaut. Was auffällt: Die eine oder andere Struktur kommt einem bekannt vor, und hat irgendwie auch mit dem Problem zu tun, aber du ordnest den Sachen dann die völlig falschen Bezeichnungen zu. Wo du Erwartungswerte berechnest, schreibst du Pr[X=m] oder Pr[X=m|Y=n] davor - völlig verkorkst. Wie soll da noch einer nachvollziehen, was du da meinst, das kommt dann nur noch "völlig irre" rüber. unglücklich

29.05.2016, 18:52

Weißhandlur

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Ja, das hat damit zu tun, dass ich diese Verfahren bei einem anderen Problem angewendet hatte, wobei es darum ging, wiewahrscheinlich es ist dass X=m, irgendwie habe ich das nun völlig verwechselt.
Da ist natürlich dann Hopfen und Malz verloren. Aber jetzt habe ich es ja verstanden.

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