Zufallsvariable, geometrisch reguläre Borelmengen, Poissonverteilung

28.05.2016, 19:45

Shalec

Zufallsvariable, geometrisch reguläre Borelmengen, Poissonverteilung

Hallo,
folgende Aufgabe(Anhang) habe ich gegeben und komme bei b) nicht voran.

Zu a) habe ich notiert:
Da die Zufallsvariablen X_i stochastisch unabhängig sind, sind die Indikatorfunktionen ebenfalls stochastisch unabhängig. Damit ist N_B als Summe sochastisch unabhängiger Zufallsvariablen wieder eine Zufallsvariable, da messbar. (Ist hier was dabei, was vielleicht etwas mehr Aufmerksamkeit bedarf?)

b) Geometrisch regulär ist bei uns wie folgt definiert:
A geometrisch regulär, falls endliche Folgen $\begin{eqnarray*} (I_j)_{1\leq j\leq m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (J_k)_{1\leq k\leq n} \end{eqnarray*}$ mit
(i) $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{j=1}^{m} J_j \subseteq A\subseteq \bigcup\limits_{k=1}^{n} J_k \end{eqnarray*}$ und
(ii) (wie schreibt man ein doppeltes Lambda? Zeichen für Volumen) $\begin{eqnarray*} 0\leq \sum\limits_{j=1}^{m}\lambda(I_j) - \sum\limits_{k=1}^{n}\lambda(J_k) \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Da hier nun "n" doppelbelegt wäre, schlage ich "n=h" in obiger Definition vor.
Die Definition ist natürlich für alle B_i erfüllt. Aber wie bekomme ich nun Ausdrücke zur stochastischen Unabhängigkeit raus?

Die B_i sind zusätzlich disjunkt und jedes d-dimensionale Volumen ist größer als 0.

Viele Grüße und vielen Dank

28.05.2016, 19:59

HAL 9000

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Ich sehe ehrlich gesagt nicht, wozu diese Voraussetzung der geometrischen Regularität hier nötig sein soll - m.E. erfüllen sämtliche Borel-messbaren Mengen mit endlichem Borelmaß größer Null die im Text zu beweisende Eigenschaft. verwirrt

29.05.2016, 12:34

Shalec

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Hallo

trotzdem ich nun weiß, dass meine anfängliche Betrachtung über die Eigenschaft "geometrisch regulär" unnötig und nur die Eigenschaft einer Borelmenge notwendig ist, komme ich mit dieser Aufgabe leider nicht weiter.

Es sind ja zwei Teile zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \left( N_{B_i} = \sum\limits_{j=1}^{N_\Lambda} \textbf{1}_{B_i}(X_j) \right)_{1\leq i\leq n} \end{eqnarray*}$ sind stochastisch unabhängig
$\begin{eqnarray*} N_{B_i} \sim Poisson( \alpha\cdot \lambda^d(B_i)) \text{ für } 1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$

Ich könnte mir vorstellen, dass der zweite Teil aus dem ersten durch Einsetzen der Verteilung von $\begin{eqnarray*} N_\Lambda \end{eqnarray*}$ folgt. Ansätze habe ich aber bislange keine, die mich weiter bringen. Eine "triviale" Erkenntnis könnte ich hier noch notieren:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{N_\Lambda} \textbf{1}_{B_i}(X_j) \leq N_\Lambda \end{eqnarray*}$

Hätte jemand einen Tipp oder eine Quelle, bei der ich Hinweise zur Lösung nachlesen kann?

Viele Grüße

29.05.2016, 13:02

HAL 9000

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Ein paar Überlegungen: Definieren wir zunächst mal für festes (d.h. nichtzufälliges) $\begin{align*} m \end{align*}$ die so ähnlich aussehenden

$\begin{align*} N_{B_i}^{(m)} := \sum_{j=1}^m 1_{B_i}(X_j) \end{align*}$ .

Aus der Eigenschaft der disjunkten Vereinigung $\begin{align*} \bigcup\limits_{i=1}^n B_i = \Lambda \end{align*}$ sowie der unabhängig identischen Gleichverteilung der $\begin{align*} X_j \end{align*}$ auf $\begin{align*} \Lambda \end{align*}$ folgt, dass $\begin{align*} \left(N_{B_1}^{(m)},N_{B_2}^{(m)},\ldots,N_{B_n}^{(m)}\right) \end{align*}$ multinomialverteilt $\begin{align*} M\left(m, \left(\frac{\lambda^d(B_1)}{\lambda^d(\Lambda)}, \frac{\lambda^d(B_2)}{\lambda^d(\Lambda)}, \ldots,\frac{\lambda^d(B_n)}{\lambda^d(\Lambda)} \right) \right) \end{align*}$ ist. Das bedeutet insbesondere, dass diese $\begin{align*} n \end{align*}$ Komponenten für dieses feste $\begin{align*} m \end{align*}$ nicht unabhängig sind, u.a. sind sie durch ihre konstante Summe $\begin{align*} m \end{align*}$ miteinander verkoppelt.

Will man nun das feste $\begin{align*} m \end{align*}$ durch das Poisson-verteilte $\begin{align*} N_A \end{align*}$ ersetzen, dann müsste das über die Formel der totalen Wkt. gelingen. Klingt nach einem ziemlichen Symbolkrieg, aber mir fällt momentan kein Weg ein, das eleganter zu begründen.

29.05.2016, 15:27

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ein paar Überlegungen: Definieren wir zunächst mal für festes (d.h. nichtzufälliges) $\begin{align*} m \end{align*}$ die so ähnlich aussehenden

$\begin{align*} N_{B_i}^{(m)} := \sum_{j=1}^m 1_{B_i}(X_j) \end{align*}$ .

Aus der Eigenschaft der disjunkten Vereinigung $\begin{align*} \bigcup\limits_{i=1}^n B_i = \Lambda \end{align*}$ sowie der unabhängig identischen Gleichverteilung der $\begin{align*} X_j \end{align*}$ auf $\begin{align*} \Lambda \end{align*}$ folgt, dass $\begin{align*} \left(N_{B_1}^{(m)},N_{B_2}^{(m)},\ldots,N_{B_n}^{(m)}\right) \end{align*}$ multinomialverteilt $\begin{align*} M\left(m, \left(\frac{\lambda^d(B_1)}{\lambda^d(\Lambda)}, \frac{\lambda^d(B_2)}{\lambda^d(\Lambda)}, \ldots,\frac{\lambda^d(B_n)}{\lambda^d(\Lambda)} \right) \right) \end{align*}$ ist. Das bedeutet insbesondere, dass diese $\begin{align*} n \end{align*}$ Komponenten für dieses feste $\begin{align*} m \end{align*}$ nicht unabhängig sind, u.a. sind sie durch ihre konstante Summe $\begin{align*} m \end{align*}$ miteinander verkoppelt.

Will man nun das feste $\begin{align*} m \end{align*}$ durch das Poisson-verteilte $\begin{align*} N_A \end{align*}$ ersetzen, dann müsste das über die Formel der totalen Wkt. gelingen. Klingt nach einem ziemlichen Symbolkrieg, aber mir fällt momentan kein Weg ein, das eleganter zu begründen.

Oh danke. Das hilft mir tatsächlich erstmal weiter. Ich habe mir hier mal die Definition einer Multinomialverteilung angeschaut und direkt gesehen, wie du dies folgerst. Ich wäre da selber echt nicht drauf gekommen. Mal sehen, was mir jetzt anhand dessen weiter einfällt. Ich vermute, dass ab hier der Weg nicht mehr "lang" sein wird.

Viele Grüße und vielen Dank

Offtopic:
Ich muss dazu sagen, ich habe nicht viel Anreiz mich mit der Stochastik mehr zu beschäftigen, als unbedingt nötig. Es interessiert mich nur wenig bis gar nicht. Da ich auch keine Prüfung hierin ablegen muss, es nur für mich wiederhole (ich belege keinen Stochastik Kurs, mache aber die Blätter mit) habe ich nicht alle Definitionen sofort parat. Es soll für mich nur eine Auffrischung sein, um das wieder erworbene Wissen in anderen Bereichen vielleicht irgendwie mal anwenden zu können. Ich sehe an dieser Aufgabe z.B. auch keine Anwendung (in erster Linie) für die Kryptologie oder Zahlentheorie. Insgesamt würde mir noch nicht einmal ein Beispiel für diese Aufgabe einfallen.

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