Optimierung von zwei Funktionen

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eey Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierung von zwei Funktionen
Hallo

meine Frage ist, wie optimiert man (mit einem numerischen Verfahren, z.B. Gradientenabstieg oder Newtonverfahren) am besten, wenn man zwei Funktionen gleichzeitig optimieren will?

Also zum Beispiel



(keine Ahnung ob das so formal richtig geschrieben ist?). Hier soll x so bestimmt werden, dass sowohl f als auch g minimal sind.

Dazu könnte man natürlich einfach die Summe von beiden Funktionen minimieren (f und g seien immer größer oder gleich 0):



Problem: wenn f generell mehrere Größenordnungen "größer" als g ist, wird nur f minimiert und g nicht, da es nicht "ins Gewicht fällt". Man könnte jetzt natürlich f entsprechend mit einer Konstanten skalieren, aber das ist dann 1) Problemspezifisch und 2) weiß man i.A. wohl nicht was die optimale Konstante wäre.

Daher die Frage: Wie geht man sowas am besten an?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Bestimmung eines Minimums ist i.d.R. eine Totalordnung notwendig. Ist nur eine Halbordnung vorhanden, denn existiert ein solche Minimum i.a. nicht, sondern allenfalls minimale Elemente.

D.h., es gibt keine Lösung für dein Problem, solange du dir nicht im klaren bist, was du eigentlich willst:

a) Wirklich die Minima. Dann brauchst du eine Totalordnung auf deinem , bevor du fortfahren kannst.

b) Nur minimale Elemente. Bei der üblichen Halbordnung im , also gdw. , wäre das im wesentlichen dann die Minimierung der beiden Einzelkomponenten.
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Danke schonmal für die Antwort.

Zitat:
Original von HAL 9000
Zur Bestimmung eines Minimums ist i.d.R. eine Totalordnung notwendig. Ist nur eine Halbordnung vorhanden, denn existiert ein solche Minimum i.a. nicht, sondern allenfalls minimale Elemente.

D.h., es gibt keine Lösung für dein Problem, solange du dir nicht im klaren bist, was du eigentlich willst:


Also ich will schon die wirklichen Minima. Bzw. ich will zwei Funktionen mit dem selben x fitten, also das x finden für das f(x) und g(x) zwei verschiedene Messwertreihen möglichst gut approximiert (f die erste Reihe ung g die zweite).


Eine entsprechende Totalordnung wäre ja was ich gepostet hatte:





Problem ist dass das eben nicht funktioniert wie gewünscht (bzw. sehr viel experimentiert werden muss welches alpha "gut" ist, wobei sich das optimale alpha vermutlich während der Minimierung auch noch ändert).


Die Frage ist also eigentlich: Wie komme ich im allgemeinen von einer Halbordnung auf eine zur Minimierung geeignete Totalordnung? Gibt es dafür Methoden/Ansätze/Tipps?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist eigentlich, was du bezwecken moechtest. Du musst vor allem zwischen der Modellierung und der Mathematik unterscheiden. Der Begriff des ''optimale[n] alpha[s]'' hat bis hier hin mit Mathematik ueberhaupt nichts zu tun.
Der uebliche Weg bei Optimierungsproblemen ist in der Tat eine geeignete Norm zu wahlen. Das kann, aber muss nicht, eine (gewichtete) 1-Norm sein. Die haeufigste Wahl ist vermutlich die euklidische Norm, also mittels Summe der Quadrate. Die Mathematik sagt dir dann, ob und wenn ja wie du bezueglich dieser Norm minimieren kannst.
Aber das alles musst du von der Frage trennen, ob das Ergebnis, jenes ist, das du haben wolltest. Wenn es dir darum geht, verschiedene Groessenordnungen auszugleichen, dann solltest du in der Tat skalieren. Ich sehe dort das Problem nicht, du hast doch Messwerte, die dir die Groessenordnungen in etwa aufzeigen. Wenn dir das nicht reicht und du die Wahl von alpha irgendwie optimieren willst, musst du zunaechst geeignete Voraussetzungen formulieren. Und ja, das ist problemspezifisch.
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ok, Danke auf jeden Fall.

Werde mir dann erstmal Gedanken über ein passendes Modell machen.
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