Orthonormalbasis von Raum und dessen orth. Komplement

29.05.2016, 15:50

balance

Orthonormalbasis von Raum und dessen orth. Komplement

Hallo,

Aufgabe
Ein Unterraum $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit dem Standardskalarprodukt sei aufgespannt von den beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1=(1,1,1)^T, v_2(0,2,1)^T \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$

Lösung:
In meiner Lösung steht unter anderem:

Alternativ ermittelt man zunächst mit Gram-Schmidt die Orthonormalbasis $\begin{eqnarray*} w_1,w_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und löst unabhängig davon das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
um das orthogonale Komplement von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Dann führt man auf der erhaltenen Basis von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ eine weitere Gram-Schmidt-Orthonormalisierung durch.

Frage: Ich check das nicht so ganz. Was genau ist die Idee hinter dem LGS? [Ich glau bausserdem die meinten das ortho. Komplement von U nicht von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ ]

29.05.2016, 18:18

Cugu

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Zitat:

Was genau ist die Idee hinter dem LGS?

Eine Loesung des lin. Gl. steht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ . Um das einzusehen, musst du nur die Matrix-Vektor-Multiplikation mit dem Standardskalarprodukt vergleichen.

Zitat:

Ich glau bausserdem die meinten das ortho. Komplement von U nicht von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$

Ja, das glaube ich auch.

31.05.2016, 11:09

balance

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okay, gut. Schaue ich mir das mal an. Danke

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