Nicht lineare DGL

29.05.2016, 19:28	DerSkibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht lineare DGL Meine Frage: Guten Tag, ich habe eine Hausaufgabe an der wir mit mehreren bis jetzt verzweifelt sind. Es handelt sich um eine nicht lineare DGL: y(x)'= y(x)/x * ln(y(x)/x) (Ist auch auf dem Bild zu sehen) Meine Ideen: Ein Ansatz ist auf dem Bild zu sehen. Danke schon mal für die Hilfe
29.05.2016, 19:35	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielleicht hilft ja $\begin{eqnarray} z:=\frac{y}{x} \end{eqnarray}$ .
29.05.2016, 23:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ DerSkibbe Ist doch alles richtig bisher (einmal abgesehen von Vorzeichenproblemen beim Argument des Logarithmus, die man bei diesem Kalkül meistens ignoriert, solange nur das Ergebnis hinterher durch die Probe bestätigt wird). In der letzten Zeile kannst du die Konstanten zusammenfassen: $\begin{align} \ln u = c + \ln x \end{align}$ Jetzt nach $\begin{align} u \end{align}$ auflösen und Variation der Konstanten. Auf der anderen Seite, finde ich, kann man die Lösung der Differentialgleichung $\begin{align} u' = \frac{u}{x} \end{align}$ auch erraten. Das sind doch gerade die Proportionalitäten. Vielleicht probierst du auch einmal in der originalen Differentialgleichung die Substitution $\begin{align} w = \ln \frac{y}{x} - 1 = \ln y - \ln x - 1 \end{align}$ Die Ableitung nach $\begin{align} x \end{align}$ ist $\begin{align} w' = \frac{y'}{y} - \frac{1}{x} \end{align}$ Leicht umgeformt: $\begin{align} \frac{xy'}{y} = xw' + 1 \end{align}$ Und genau der Term links tritt in der Differentialgleichung auf, wenn man sie mit $\begin{align} \frac{x}{y} \end{align}$ durchmultipliziert: $\begin{align} \frac{xy'}{y} = \ln \frac{y}{x} \end{align}$ Mit der vorgeschlagenen Substitution wird das jetzt sehr einfach.

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