Taylorreihe

05.03.2007, 16:54

Shadow86

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Taylorreihe

Weiß jemand, wie folgende Aufgabe geht?
Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty~a_v*x^{v} \end{eqnarray*}$ die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f: R->[0,\pi] mit f(x)=arccot(x) \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} a_0,...,a_4 \end{eqnarray*}$

05.03.2007, 16:58

Divergenz

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RE: Taylorreihe
Hallo,

es gilt halt die ersten 4 Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle 0 zu bestimmen und dann in die Darstellungsform der Taylorpolynome einzusetzen!

05.03.2007, 17:04

Shadow86

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RE: Taylorreihe
aber sind $\begin{eqnarray*} a_1, ..., a_4 \end{eqnarray*}$ nicht die Kooeffizienten der oben genannten Summe, die ja von $\begin{eqnarray*} a_0 bis \infty \end{eqnarray*}$ laufen soll?

05.03.2007, 17:14

WebFritzi

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Ja. Schau dir doch mal an, wie die Koeffizienten definiert sind. Was ist überhaupt dein Problem?

P.S.: Was ist arccot(x)???

05.03.2007, 17:24

Shadow86

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In der Vorlesung haben wir ein anderes Beispiel gemacht und drei mal abgelitten und dann eine allgemeine Formel gefunden, die für alle Ableitungen gilt. In die f^n -te Ableitung haben wir 0 eingesetzt und dann in die allgemeine Taylorformel. Und in diesem Beispiel? Soll ich da die 4.Aleitung für x=0 einsetzen? Und diese Taylorformel ist viel kürzer als die in der Vorlesung.

05.03.2007, 17:31

WebFritzi

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Oha. Also, für eine Funktion f sieht die Taylorreihe im Entwicklungspunkt x_0 wie folgt aus

$\begin{eqnarray*} T(x) = \sum_{v=0}^\infty \frac{f^{(v)}(x_0)}{v!}(x - x_0)^v. \end{eqnarray*}$

Hier ist offenbar x_0 = 0. Was ist jetzt also $\begin{eqnarray*} a_v \end{eqnarray*}$ ?

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05.03.2007, 17:42

Shadow86

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$\begin{eqnarray*} \frac{f^{n}(0)}{v!}? \end{eqnarray*}$

05.03.2007, 17:43

WebFritzi

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Ja, nur dass das n wohl ein v sein sollte und in Klammern muss (v-te Ableitung). Jetzt musst du also nur diesen Term für v = 0,1,2,3,4 berechnen und bist fertig.

05.03.2007, 17:44

phi

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im Eifer des Gefechts

Zitat:

... drei mal abgelitten ...

Off-Topic: Nicht bös gemeint (Schmunzel), aber "Ableiten"-->"abgeleitet", nicht "Ableiden"-->... auch wenn mathe manchmal subjektiv so empfunden wird.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

(dieser Beitrag kann evt. gelöscht werden, falls es zuuu Off-Topic ist)

05.03.2007, 17:48

Shadow86

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RE: im Eifer des Gefechts

Zitat:

Original von phi

Zitat:

... drei mal abgelitten ...

Off-Topic: Nicht bös gemeint (Schmunzel), aber "Ableiten"-->"abgeleitet", nicht "Ableiden"-->... auch wenn mathe manchmal subjektiv so empfunden wird.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

(dieser Beitrag kann evt. gelöscht werden, falls es zuuu Off-Topic ist)

Das ist mir schon klar, aber wie du oben schon geschrieben wird, passt das besser Augenzwinkern

Augenzwinkern

@webFritzi: Ja ich meinte v.
Aber nehme ich da jetzt nur die 4.Ableitung und setzte sie ein (die ist bei 0 allerdings 0) oder nehme ich alle und addiere sie oder irgendwas anderes?

05.03.2007, 17:57

WebFritzi

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Man, das kann doch nicht so schwierig sein... OK, schön der Reihe nach. Was ist $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ ? Setze einfach ein!

05.03.2007, 18:01

Shadow86

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f(0)=0, f'(0)=-1, f''(0)=0, f'''(0)=2, f^(4)(0)=0

05.03.2007, 18:03

WebFritzi

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Das kann ich jetzt leider nicht nachprüfen, weil ich immernoch nicht weiß, was arccot(x) sein soll...

05.03.2007, 18:09

Shadow86

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die Umkehrfunktion vom Cotangens. Erste Ableitung davon ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$
Steht auch in jeder Formelsammlung

05.03.2007, 18:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von Shadow86
f(0)=0

Ganz bestimmt nicht, denn cot(x) ist in Null gar nicht definiert.

05.03.2007, 18:44

Shadow86

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ja, f(0) = 0 ist auch falsch, aber mein derive-Programm hat mir das im Graphen angezeigt, aber guck mal bei wikipedia. $\begin{eqnarray*} f(0) = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

05.03.2007, 18:48

WebFritzi

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Ich brauch nicht bei Wikipedia zu gucken. Diesmal ist's richtig.

05.03.2007, 18:49

Shadow86

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und wie geht's jetzt weiter?

05.03.2007, 18:54

WebFritzi

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Das werde ich dir bestimmt nicht vorrechnen. Mach doch mal selber was.

05.03.2007, 19:02

Shadow86

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$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{v=0}^\infty~ \frac{f^(v)(0)}{v!}* x^{v} = \sum_{v=0}^\infty~ \frac{\pi}{2v!}*x^{v}- \frac{1}{v!}*x^{v}+ \frac{2}{v!}*x^{v} \end{eqnarray*}$

05.03.2007, 19:46

phi

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Aus deiner letzten Post geht hervor, dass du nicht weißt was das Summenzeichen bedeutet. Mach dich desbezüglich erstmal schlau. Was bedeutet den der Index v ?

mfg, phi smile

smile

05.03.2007, 20:31

Shadow86

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Ich weiß schon, was das Summenzeichen bedeutet, und v ist der Index, der von 0 bis unendlich durchläuft. Also sind $\begin{eqnarray*} a_0,..., a_4 \end{eqnarray*}$ doch die Kooeffizienten. Aber das verwirrt mich, dass ich die gleichzeitig auch noch ableiten muss... unglücklich

unglücklich

05.03.2007, 22:27

WebFritzi

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Dann schreib die Summe bitte erstmal ohne Summenzeichen hin und ohne die a's auszurechnen.

06.03.2007, 10:42

Shadow86

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$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac{a_0}{v!}x^v+\frac{a_1}{v!}x^v+\frac{a_2}{v!}x^v+\frac{a_3}{v!}x^v+\frac{a_4}{v!}x^v \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 11:13

WebFritzi

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Falsch. Was ist denn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ? Wenn ich jetzt die Werte von a_1,...,a_4 kennen würde, wüsste ich jetzt nicht, wie ich das berechnen sollte.

06.03.2007, 12:37

Shadow86

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$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac{a_0}{0!}x^0+\frac{a_1}{1!}x^1+\frac{a_2}{2!}x^2+\frac{a_3}{3!}x^3+\frac{a_4}{4!}x^4 \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 13:01

WebFritzi

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Aha. So ist's richtig. Jetzt berechne die ersten vier Ableitungen deiner Funktion und setze x = 0 ein.

06.03.2007, 13:15

Shadow86

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$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac{\pi}{2}-x+\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$
Ja, das macht Sinn.
Aber eine Frage noch. Was ist mit dem Restglied, die Taylorformel ist doch eigentlich viel länger. Hoffe, du weißt, was ich meine, hab keine Lust die ganze Formel jetzt hier aufzuschreiben. Bzw. sind Taylorformel und Taylorreihe dasselbe?

06.03.2007, 13:19

WebFritzi

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Ich weiß icht, was du mit "Taylorformel" meinst, aber es gibt das "Taylorpolynom" und die "Taylorreihe". Wenn du nur das Taylorpolynom berechnen sollst, ist das Restglied (was einfach als die Differenz zwischen Ausgangsfunktion und Taylorpolynom definiert ist) ziemlich egal.

08.03.2007, 16:37

Shadow86

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Und wie entwickle ich die Taylorreihe von f(x)=(cos(x))². Dieses Mal ist nichts angegeben.
Soll ich dann auch einfach wieder die ersten paar Ableitungen nehmen und 0 einsetzen oder wie macht man es hier?

08.03.2007, 19:09

Calvin

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Brauchst du nur die ersten paar Glieder oder die komplette Taylorreihe (unendlich viele Glieder) in Summenschreibweise?

Kennst du die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos{x} \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, dann kannst du das zumindest dann verwenden, wenn du nur die ersten Glieder brauchst.

08.03.2007, 19:14

Shadow86

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Zitat:

Original von Calvin
Brauchst du nur die ersten paar Glieder oder die komplette Taylorreihe (unendlich viele Glieder) in Summenschreibweise?

Laut Aufgabe anscheinend die komplette Taylorreihe

08.03.2007, 19:51

Calvin

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Wenn man gar keine Idee hat, kann man mal stur probieren, die ersten paar Glieder der Taylorreihe zu berechnen. Vielleicht stößt man dabei auf eine Zuordnungsvorschrift für die Koeffizienten.

09.03.2007, 12:13

Shadow86

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Ich hab jetzt raus
$\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x)^2\\ f'(x)=-2sin(x)cos(x)\\ f''(x)=2-4cos(x)^2\\ f'''(x)= 8sin(x)cos(x)\\ f^{(iv)}(x)=16cos(x)^2-8\\ f^{(v)}(x)=-32sin(x)cos(x)\\ f^{(vi)}(x)= 32-64cos(x)^2\\ f^{(vii)}(x)= 128sin(x)cos(x)\\ f^{(viii)}(x)=256cos(x)^2-128\\ \end{eqnarray*}$

In die Funktion und die Ableitungen 0 und dann in die Taylorreihe eingesetzt, ergibt das
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty = 1-x^2+\frac{1}{3}x^4-\frac{2}{45}x^6+\frac{1}{315}x^8 \end{eqnarray*}$

Bei den Ableitung sehe ich zwar, wie sich das verhält, mir fällt aber keine allgemeine Formel ein, weil das Vorzeichen bei jeder zweiten Ableitung ändert, also bei allen geraden, bzw allen ungeraden Ableitungen...

Bei der Taylorreihe wechselt das Vorzeichen dauernd und alle geraden Potenzen sind vorhanden, aber die Koeffizienten...?

09.03.2007, 14:47

Calvin

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OK, dann kommst du auch nicht weiter als ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe aber eine Bestätigung für meine erste Idee gefunden. Wenn die Taylorreihe für cos(x) bekannt ist, kann man die durch das Cauchyprodukt mit sich selbst multiplizieren:

http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyprodukt

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...ge/aussage1258/

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