Summe zweiter Ableitungen

30.05.2016, 13:50

Pe.ter

Summe zweiter Ableitungen

Meine Frage:
Hallo zusammen.

Wir dürfen für $\begin{eqnarray*} f(x)=g(||x||) , f:\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ den Laplaceoperator bestimmen.
Dieser beschreibt ja die Summe der zweiten partiellen Ableitungen.
Wir wissen, dass g zweimal stetig diffbar ist.

Meine Ideen:
Ich bilde also die erste Ableitung von g:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{x_{k}} {||x||}) \end{eqnarray*}$

und die zweite Ableitung:

$\begin{eqnarray*} g'': \sum\limits_{k=1}^{n} (((\sum\limits_{j=1}^{n} x²_{j} )-x²_{k})/(x²_{1}+...+x²{n})^{3/2}) \end{eqnarray*}$
Kann ich das passend vereinfachen? Es sieht so aus, als sei ich nicht weit von der Lösung entfernt, aber etwas übersehe ich...

Brüche scheinen irgendwie nicht zu funktionieren smile

Edit (mY+): LaTeX berichtigt, frac musst du mit \frac einleiten!

Lieben Gruß
Peter

30.05.2016, 16:52

Leopold

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$\begin{align*} f \end{align*}$ ist doch eine Verkettung. Du wirfst da $\begin{align*} f \end{align*}$ und $\begin{align*} g \end{align*}$ ganz durcheinander. Vielleicht vergleichst du das einmal mit dem hier.

30.05.2016, 17:23

Pe.ter

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ayyy ja. huch.

Ok, wenn ich also die Kettenregel anwende.
Hey aber das hilft.
Für Laplace wissen wir ja auch, dass er die Divergenz vom Gradienten von f ist.
Was Grundlegeneres erstmal bitte:

Ist Laplace auch eine Verkettung? Bilde ich also die Summe der Ableitungen des Gradienten? Der wiederum ja alle erste partielle Ableitungen in einem Vektor darstellt? Daher auch am Ende die zweite Ableitung? Lesen1

Mal schauen, wie ich das auf die Aufgabe anwenden kann.

Mal eine allgemeinere Frage:

Ableitung von Verkettungen:
f(g(x/y))
Mit Kettenregel habe ich dann:
g'(x/y)*(x/y)'.
Ist das richtig, dass ich dann eine 2x2 Matrix erhalte? Da ich ja für beides jeweils die partiellen Ableitungen bilden muss.

Hat mir schon einen großen Schritt weiter geholfen, danke smile

30.05.2016, 20:02

Leopold

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Zitat:

Original von Pe.ter
Ableitung von Verkettungen:
f(g(x/y))
Mit Kettenregel habe ich dann:
g'(x/y)*(x/y)'.
Ist das richtig, dass ich dann eine 2x2 Matrix erhalte? Da ich ja für beides jeweils die partiellen Ableitungen bilden muss.

Das ist mir zu chaotisch. Und auch etwas sinnfrei ...

Hier das Ergebnis:

$\begin{align*} \Delta f = g'' \left( \left\| x \right\| \right) + (n-1) \cdot \frac{g' \left( \left\| x \right\| \right)}{\left\| x \right\|} \, , \ \ x \neq 0 \end{align*}$

30.05.2016, 22:47

Pe.ter

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Gut, lassen wir das mit den anderen Fragen erstmal smile

Für die erste Ableitung erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{k=1}^{n} x²_{k}}{||x||} * g'(||x||) \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.
Für die zweite würde ich erstmal die Produktregelanwenden:
Doch was ist die Ableitung des ersten Faktors?
Kann ich nicht die Ableitung in die Summe reinbringen?
Was mache ich dann mit dem Nenner?
oi. Schließlich ist das k-te x ja auch im Nenner enthalten.

Wo kommen die n-1 her? verwirrt

Danke schonmal für deine / eure Hilfe!

31.05.2016, 06:55

Leopold

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Du schreibst erneut lediglich einen Term hin. Man weiß also gar nicht, wovon du die Ableitung berechnest. Ich gehe einmal von der originalen Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ aus:

$\begin{align*} f(x) = g \left( \left\| x \right\| \right) \end{align*}$

Damit das Ganze sinnvoll ist, sollte $\begin{align*} g \end{align*}$ eine auf $\begin{align*} (0,\infty) \end{align*}$ mindestens zweimal differenzierbare reellwertige Funktion sein. Und von diesem $\begin{align*} f \end{align*}$ ist die Ableitung zu berechnen:

$\begin{align*} f'(x) = \frac{g' \left( \left\| x \right\| \right)}{\left\| x \right\|} \cdot x \end{align*}$

In Spaltenschreibweise heißt das ausführlich:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} = \frac{g' \left( \left\| x \right\| \right)}{\left\| x \right\|} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{align*}$

Der Auszug aus der ersten Zeile wäre

$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac{g' \left( \left\| x \right\| \right)}{\left\| x \right\|} \cdot x_1 \end{align*}$

Und dies ist jetzt erneut nach $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ zu differenzieren.
Für die Nebenrechnung setze ich der Übersichtlichkeit halber $\begin{align*} x_1 = t \end{align*}$ und bezeichne Ableitungen nach $\begin{align*} t \end{align*}$ mit einem Punkt. Dann haben wir auf der rechten Seite der letzten Gleichung ein Produkt aus

$\begin{align*} u = u(t) = g' \left( \left\| x \right\| \right) = g' \left( \left( t^2 + {x_2}^2 + \ldots + {x_n}^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} v = v(t) = \frac{1}{\left\| x \right\|} = \left( t^2 + {x_2}^2 + \ldots + {x_n}^2 \right)^{- \frac{1}{2}} \end{align*}$

$\begin{align*} w = w(t) = t \end{align*}$

Und jetzt kann man $\begin{align*} h = h(t) = \frac{\partial f}{\partial x_1} \end{align*}$ nach der Produktregel ableiten:

$\begin{align*} h = uvw \end{align*}$

$\begin{align*} \dot{h} = \dot{u} vw + u \dot{v} w + uv \dot{w} \end{align*}$

Die Umbenennung von $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ in $\begin{align*} t \end{align*}$ und von $\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x_1} \end{align*}$ in $\begin{align*} h \end{align*}$ soll helfen, das Ganze übersichtlicher darzustellen. Nach Ende der Rechnung kann man die Umbenennungen wieder rückgängig machen und erhält $\begin{align*} \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2} \end{align*}$ .
Die Rechnung für die Variablen $\begin{align*} x_2,\ldots,x_n \end{align*}$ geht dann völlig analog. Zuletzt mußt du dann noch

$\begin{align*} \frac{\partial^2 f}{{x_1}^2} + \ldots + \frac{\partial^2 f}{{x_n}^2} \end{align*}$

berechnen.

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