Schreibweise bei partieller Differenzierbarkeit

30.05.2016, 14:04

Punkt.

Schreibweise bei partieller Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Hey,

was bedeutet die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \partial _{1} \partial _{2}F \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Die "dels" kannte ich bisher nur mit x oder y als Indizes, oder eben mit Zahlen als Exponenten (für höhere Ableitungen)

Wäre schön, wenn mich da jemand aufklären könnte.

30.05.2016, 14:47

Cugu

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Das sieht stark danach aus, dass statt der Verwendung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Basis im Urbildraum $\begin{eqnarray*} \{e_1,...,e_d\} \end{eqnarray*}$ einfach durchnumeriert wurde. Dann bezeichnet $\begin{eqnarray*} \partial_j F \end{eqnarray*}$ die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ , also die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te partielle Ableitung. An einer Stelle $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist das dann der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h}\Big[F(v+he_j)-F(v)\Big] \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ .

30.05.2016, 17:33

Punkt.

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Also wurden x und y gewissermaßen durch 1 und 2 ersetzt? Bedeutet $\begin{eqnarray*} \partial _{1} \partial _{2}F \end{eqnarray*}$ dann, dass ich erst nach y und das dann nach x ableiten muss?

30.05.2016, 17:41

Cugu

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Ich wuerde eher sagen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wurden durch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ oder durch $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ oder durch $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ oder wie auch immer du die Variablen nennen willst ersetzt.
Der Vorteil der Notation $\begin{eqnarray*} \partial_1 \end{eqnarray*}$ gegenueber $\begin{eqnarray*} \partial_{x_1} \end{eqnarray*}$ ist, dass man nicht mehr so sehr von der Bezeichnung der Variablen abhaengig ist.

Zitat:

nach y und das dann nach x ableiten muss

Wenn du so die ersten beiden Komponenten von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ nennst, dann ja.

30.05.2016, 17:46

Punkt.

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Konkret gesprochen: Die Funktion die mich interessiert, ist

$\begin{eqnarray*} F(x,y)=xy\frac{x^{2} -y^{2} }{x^{2} +y^{2} } \end{eqnarray*}$ für (x,y) ungleich (0,0) und F(0,0) = 0.

Hier soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \partial _{1} \partial _{2}F(0,0) \end{eqnarray*}$ nicht gleich ist wie $\begin{eqnarray*} \partial _{2} \partial _{1}F(0,0) \end{eqnarray*}$ .

Was muss ich jetzt also in welcher Reihenfolge ableiten?

Ich denke, den ersten Term zuerst nach y und das dann nach x, beim zweiten umgekehrt (also zuerst das, was näher beim F steht).

Stimmt das?

30.05.2016, 17:52

Cugu

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Zitat:

also zuerst das, was näher beim F steht

Ja, das sollte die uebliche Konvention sein.

30.05.2016, 17:58

Punkt.

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Ok, Danke für die Hilfe!

30.05.2016, 19:37

Punkt.

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Doch nochmal eine Frage dazu.

Wie genau berechne ich denn $\begin{eqnarray*} \partial _{1} \partial _{2}F(0,0) \end{eqnarray*}$ ? Ich hab jetzt zerst mal F nach y abgeleitet, dann komm ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y}F(x,y)=\frac{-x(y^{4}+4x^{2}y^{2}-x^{4})}{(x^{2}+y^{2})^2} \end{eqnarray*}$

Dann nehme ich $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}( \frac{\partial}{\partial y} F(h+0,0)) \end{eqnarray*}$ . Dann kommt 0 heraus.

Wenn ich dasselbe umgekehrt mache, kommt auch 0 heraus. Es soll aber ja etwas anderes herauskommen. Wo liegt mein Fehler?

30.05.2016, 19:52

Cugu

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Zitat:

Ich hab jetzt zerst mal F nach y abgeleitet

Hast du auch $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ abgeleitet? Die Ableitung an anderen Stellen zu bilden und dann einen Grenzwert zu bilden ist problematisch.

edit: Okay, das ist hier nicht das Problem, die partiellen Ableitungen sind dort gleich null.

30.05.2016, 19:58

Cugu

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}( \frac{\partial}{\partial y} F(h+0,0)) \end{eqnarray*}$

Hier muss noch einmal durch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ dividiert werden.

Es ist doch sicherlich:
$\begin{eqnarray*} \partial_x[\partial_y F] (0,0)= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \Big([\partial_yF](h,0)-[\partial_y F](0,0)\Big) \end{eqnarray*}$

31.05.2016, 08:03

Punkt.

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Ja klar! Das hatte ich vergessen. Hammer

Danke

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