Relationen

30.05.2016, 22:40

Saphiria96

Relationen

Meine Frage:
Ich habe die Aufgabe: Die Relation "a teilt b" auf der Menge A der natürlichen Zahlen ist antisymmetrisch, aber nicht symmetrisch. Verändern Sie die Menge so dass R weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist! Geben Sie ein Beispiel an, das zeigt, dass R nicht symmetrisch/ nicht antisymmetrisch ist!

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass die Menge so sein muss, das die Relation weder symmetrisch, antisymmetrisch noch asymmetrisch sein darf, da wenn eine Relation asymmetrisch ist sie ja auch automatisch antisymmetrisch ist.
Dazu habe ich mir dann überlegt:
symmetrisch: a|b -> b|a
antisym: a|b und b|a -> a=b
asym: a|b -> b teilt nicht a

dann müsste für meine Menge gelten:
nicht sym.: a teilt nicht b -> b teilt nicht a
nicht antisym: a teilt nicht b und b teilt nicht a -> a ungleich b
nicht asym: a teilt nicht b -> b|a

aber dann würden sich die Aussagen "b teilt nicht a" und "b|a" widersprechen und das würde dann bedeuten, dass es keine Menge mit den Voraussetzungen gibt.
Sind meine Überlegungen richtig oder habe ich da irgendetwas falsch verstanden?

30.05.2016, 23:16

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Sind meine Überlegungen richtig oder habe ich da irgendetwas falsch verstanden?

Nicht symmetrisch und nicht antisymmetrisch muss nicht fuer dieselben Elemente gelten. Es muss nur jeweils Elemente geben um die jeweilige Eigenschaft zu negieren. Du hast schlicht falsch negiert.

Du solltest der Menge Elemente derart hinzufuegen, dass zugleich $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b|a \end{eqnarray*}$ gelten koennen obwohl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verschieden sind. Dafuer gibt es eine kanonische Wahl!

31.05.2016, 06:48

Saphiria96

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du solltest der Menge Elemente derart hinzufuegen, dass zugleich $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b|a \end{eqnarray*}$ gelten koennen obwohl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verschieden sind. Dafuer gibt es eine kanonische Wahl!

Aber wenn a|b und b|a gilt, dann ist die Relation doch symmetrisch und das soll sie doch nicht sein?

31.05.2016, 09:31

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Relation $\begin{eqnarray*} R \subseteq M \times M \end{eqnarray*}$ heisst symmetrisch, wenn fuer alle $\begin{eqnarray*} x,y \in M \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} yRx \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} xRy \end{eqnarray*}$ folgt.

Nicht symmetrisch heisst, dass es irgendwelche Elemente $\begin{eqnarray*} x_0, y_0 \in M \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} x_0 R y_0 \end{eqnarray*}$ aber nicht $\begin{eqnarray*} y_0 R x_0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Die Symmetrie kann fuer alle anderen trotzdem gelten.

31.05.2016, 11:34

Saphiria96

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann könnte man die Menge auf ganze Zahlen erweitern, da ist nämlich keine Symmetrie, da 0|2 aber 2 teilt 0 nicht
und es ist auch nicht antisymmetrisch, da 2|-2 und -2|2, wober 2 ungleich -2 ist.

oder habe ich noch etwas falsch verstanden?

31.05.2016, 12:48

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte stimmen.

Algemein (kommutativer Ring mit 1) kann man uebrigens zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b|a \end{eqnarray*}$ zusammen genommen $\begin{eqnarray*} a=e\cdot b \end{eqnarray*}$ folgt, wobei $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ eine Einheit ist also ein Inverses besitzt.
In den ganzen Zahlen sind $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ die Einheiten, wobei letztere in deinem Beispiel dazu fuehrt, dass die Antisymmetrie verletzt ist.

Neue Frage »

Antworten »

Relationen

Verwandte Themen