Konvergenz in Verteilung / Cauchy-Verteilung

31.05.2016, 14:26

Leone

Konvergenz in Verteilung / Cauchy-Verteilung

Hallo Ihr!

Ich sitze jetzt wirklich schon eine Ewigkeit an dieser Aufgabe und ich komme einfach nicht weiter:

Zitat:

Es sei ein W-Raum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, P) \end{eqnarray*}$ gegeben sowie eine Folge $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ von unabh. Standard-Cauchy-verteilten ZV

$\begin{eqnarray*} X_n : (\Omega, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}), ~~~ n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Die Standard-Cauchy-Verteilung ist ein W-Maß auf dem Messraum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}, \mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ , das durch die Lebesgue-Dichte

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

definiert ist.

1.
Zeigen Sie, dass es Folgen reeller Zahlen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die Folge

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{b_N} \sum_{n=1}^{N} (X_n - a_n) \right)_{N \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

in Verteilung gegen $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \frac{n-1}{(n-1)^2+x^2} \frac{1}{1+(y-x)^2} dx = \frac{\pi n}{n^2+y^2} \end{eqnarray*}$

gilt.

Ich muss gleich vorweg sagen, dass ich wahrscheinlich ziemlich viele Denkfehler habe, aber ich komme einfach alleine nicht weiter..

Mein (vielversprechendster) Ansatz war bisher:
Da ich weiß, dass der Mittelwert aus n standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen selbst standard-Cauchy-verteilt ist, habe ich den Ansatz $\begin{eqnarray*} a_n := 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n := n \end{eqnarray*}$ gemacht, also die ZV

$\begin{eqnarray*} P_N := \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N X_n \end{eqnarray*}$

definiert.

Anschließend habe ich mit Faltung, vollständiger Induktion und dem Hinweis die Dichte berechnet (ich lasse die einzelnen Schritte mal weg, kann sie bei Bedarf aber gerne noch posten):
$\begin{eqnarray*} h(x) = \frac{\pi}{n^2 + x^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann aber versuche die Konvergenz in Verteilung zu zeigen, also zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \mapsto \infty} \int_{-\infty}^x h(t) dt = \int_{-\infty}^x f(t) dt \end{eqnarray*}$ ,

scheitere ich gloreich (da kommen völlig unterschiedliche Sachen bei raus)...
Ich bin mittlerweile echt mit meinem Latein am Ende unglücklich

und bin dankbar für jede Hilfe!

31.05.2016, 14:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leone
Da ich weiß, dass der Mittelwert aus n standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen selbst standard-Cauchy-verteilt ist, habe ich den Ansatz $\begin{eqnarray*} a_n := 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n := n \end{eqnarray*}$ gemacht, also die ZV

$\begin{eqnarray*} P_N := \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N X_n \end{eqnarray*}$

definiert.

Richtig - und damit ist doch eigentlich schon fast alles gesagt: D.h, die Verteilungen von $\begin{align*} P_N \end{align*}$ und $\begin{align*} X_1 \end{align*}$ sind identisch! Also nicht erst im Grenzübergang $\begin{align*} N\to\infty \end{align*}$ , sondern sogar bereits für jedes endliche $\begin{align*} N \end{align*}$ , was sogar noch eine sehr viel stärkere Aussage ist als das was du nachweisen sollst. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Leone
Anschließend habe ich mit Faltung, vollständiger Induktion und dem Hinweis die Dichte berechnet (ich lasse die einzelnen Schritte mal weg, kann sie bei Bedarf aber gerne noch posten):
$\begin{eqnarray*} h(x) = \frac{\pi}{n^2 + x^2} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du hier irgendwas verwechselst? $\begin{align*} P_N \end{align*}$ ist (wie du selbst oben festgestellt hattest) standard-Cauchy-verteilt, besitzt selbst somit die Dichte $\begin{align*} \frac{1}{\pi(1+x^2)} \end{align*}$ .

Die Summe $\begin{align*} \sum_{n=1}^N X_n = N\cdot P_N \end{align*}$ besitzt hingegen die Dichte $\begin{align*} \frac{N}{\pi(N^2+x^2)} \end{align*}$ - liegt dort vielleicht irgendeine gedankliche Verwechslung bei dir vor? verwirrt

-----------------------------------------------------------------------

Alles mal in die logisch richtige Reihenfolge gebracht, ohne "Vorkenntnisse" zur Cauchyverteilung und deren Summen:

a) Per vollständiger Induktion über $\begin{align*} N \end{align*}$ kann man unter Zuhilfenahme der angegebenen Faltungsformel nachweisen, dass $\begin{align*} S_N = \sum_{n=1}^N X_n = \left( \sum_{n=1}^{N-1} X_n \right) + X_N \end{align*}$ die Dichte $\begin{align*} f_{S_N}(x) = \frac{N}{\pi(N^2+x^2)} \end{align*}$ besitzt.

b) Für $\begin{align*} P_N = \frac{1}{N}S_N \end{align*}$ gilt per Dichtetransformationsformel $\begin{align*} f_{P_N}(x) = N\cdot f_{S_N}(Nx) = \frac{1}{\pi(1+x^2)} \end{align*}$ , und damit $\begin{align*} P_N\sim X_1 \end{align*}$ .

31.05.2016, 15:50

Leone

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Ja du hast Vollkommen recht! Ich habe versucht die Dichte von $\begin{eqnarray*} P_N \end{eqnarray*}$ direkt mit Faltung zu berechnen, das zusammen mit einem verschwundenen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi^2} \end{eqnarray*}$ hat bei mir alles durcheinander gehauen!
Jetzt weiß ich selber nicht, wieso ich nicht selbst darauf gekommen bin, dass die Dichte nicht stimmen kann ^^

Ich kann Dir gar nicht genug danken! Mit dem Hinweis auf die Dichtetransformationformel hat alles wunderbar geklappt!!! Freude

31.05.2016, 15:59

HAL 9000

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Schön, dass es sich so aufgeklärt hat. Wink

P.S.: Ist übrigens eine nette kleine Übung für den Residuensatz

Zitat:

Original von Leone
Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \frac{n-1}{(n-1)^2+x^2} \frac{1}{1+(y-x)^2} dx = \frac{\pi n}{n^2+y^2} \end{eqnarray*}$

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