Inhomogene DGL 1. Ordnung

31.05.2016, 18:44

cmplx96

Inhomogene DGL 1. Ordnung

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit einer DGL:

kurz vorweg:
ich habe diese DGL gelöst:
$\begin{eqnarray*} y' + 2y = 4\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$
ich habe die homogene Lösung berechnet.
Dann habe ich für die Störfunktion $\begin{eqnarray*} 4\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ als partikuläre Lösung den Ansatz $\begin{eqnarray*} 4\cdot A\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ genommen.
Über den Koeffizientenvergleich habe ich das A bestimmt und dann für die allgemeine Lösung die homogene und die partikuläre Lösung addiert.
Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} y = \tilde{C}\cdot e^{-2x} + e^{2x} \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt aber die DGL:
$\begin{eqnarray*} y' + 2y = 4\cdot e^{-2x} \end{eqnarray*}$
Da die DGL sehr ähnlich aussieht, bin ich erstmal gleich vorgegangen.
Beim Ansatz der partikulären Lösung gab es aber Probleme:
diese lautet: $\begin{eqnarray*} 4\cdot A\cdot e^{-2x} \end{eqnarray*}$
Die Ableitung lautet: $\begin{eqnarray*} -8\cdot A\cdot e^{-2x} \end{eqnarray*}$
Beim Koeffizientenvergleich sieht es dann so aus:
$\begin{eqnarray*} -8\cdot A\cdot e^{-2x} + 2\cdot 4\cdot A\cdot e^{-2x} = 4\cdot e^{-2x} \end{eqnarray*}$
also: $\begin{eqnarray*} 0 = 4\cdot e^{-2x} \end{eqnarray*}$
Wie komme ich jetzt an mein A?
Ich habe leider keine anderen Ansätze gefunden.

Danke im Voraus!

31.05.2016, 19:11

Mathema

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Zitat:

Beim Ansatz der partikulären Lösung gab es aber Probleme:
diese lautet: $\begin{eqnarray*} 4\cdot A\cdot e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Nein - das ist Blödsinn. unglücklich

Wenn dir kein richtiger Ansatz für einen Koeffizientenvergleich einfällt, dann bleibt ja immer noch Variation der Konstanten.

PS: Richtig wäre: $\begin{eqnarray*} y_p=A\cdot xe^{-2x} \end{eqnarray*}$

31.05.2016, 19:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von cmplx96
Ich habe leider keine anderen Ansätze gefunden.

Dann hast du eine schlechte Ansatzübersicht, wenn sie den sog. Resonanzfall außer Acht lässt: So bezeichnet man es, wenn die Störfunktion selbst Lösung der homogenen Gleichung ist - siehe z.B. hier: Resonanz bei Differentialgleichungen

31.05.2016, 19:30

cmplx96

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Danke für die Antwort!
Klappt das bei allen e-Funktionen mit einem Minus im Exponenten nicht?
Und kannst du mir sagen, wie du auf die Lösung gekommen bist?

edit: danke @ HAL 9000

31.05.2016, 21:57

Shalec

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Hey, ich hatte dazu damals mal ein "Paper" geschrieben. Vielleicht hilft dir das?

http://www.math.uni-bremen.de/~cschael/P...gleichungen.pdf

(Noch hat die Uni Bremen ihren Onlinedienst nicht eingestellt)

Viele Grüße und ich denke, dass du bei den beiden bisherigen Kommentierern gut aufgehoben bist. smile

Oh.. jetzt wo ich selber nochmal nach Jahren drüber fliege.. hier ist nur das Verfahren "Variation der Konstanten" beschrieben. Es gibt aber noch viel mehr andere: Aufsuchen einer speziellen Lösung mittels Tabelle (oder mittels Vergleich mit der Störfunktion), Trennung der Variablen... es ist leider nicht vollständig, damals aber im Rahmen eines Tutoriums entstanden.

31.05.2016, 22:03

cmplx96

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Super, vielen Dank! smile

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