Fourier-Reihe uneigentliches Integral

31.05.2016, 19:17

Ephelemi

Fourier-Reihe uneigentliches Integral

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich verzweifle gerade an einer Mathe-Aufgabe, bei der es sich zunächst mal um die Fouriertransformation eines periodischen Graphen handelt. Allerdings ist die Aufgabe allgemein gestellt:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\lim_{T_{0} \to 0} g(t) \end{eqnarray*}$

Dabei gilt:

$\begin{eqnarray*} g(t)=1/T_{0} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} nT<t<nT+T_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} nT+T_{0}\leq t\leq (n+1)T \end{eqnarray*}$

Anschaulich:
[attach]41857[/attach]

(Das Ganze ist T-periodisch)

Gesucht ist die Fourier-Umformung

Meine Ideen:
Ich habe den Grenzwert als uneigentliches Integral geschrieben, sodass der erste Koeffizient folgendermaßen aussieht:

$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{2}{T} \cdot \lim_{T_{0} \to 0} \left(\int_{0}^{T_{0}} \! \frac{2}{T_{0}} \, dt + \int_{T_{0}}^{T} \! 0 \, dt \right) \end{eqnarray*}$

Das hintere Integral verschwindet, es bleibt:

$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{2}{T} \cdot \lim_{T_{0} \to 0} \left[\frac{t}{T_{0}} \right]_{0}^{T_{0}} = \frac{2}{T} \end{eqnarray*}$

Bevor ich euch die Rechnungen für die anderen Koeffizienten zeige, (bei denen ich zwei Mal 0 herausbekommen habe !?!) wüsste ich gerne, ob das hier soweit stimmt oder ob man das anders macht.

Danke schonmal für eure Hilfe

31.05.2016, 19:54

willyengland

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Ich kenne FT eigentlich so, dass man den Rechteckpuls aus einer Überlagerung von Sinusfrequenzen zusammensetzt. So etwa:

http://me-lrt.de/u-05-3-fourier-spektrum...rechteck-pulses

Die Mathematik dahinter müssen dir allerdings andere erklären. Augenzwinkern

31.05.2016, 21:55

Ephelemi

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Danke für die Antwort.
Ich habe mir das mit dem Rechteck-Puls angesehen, allerdings hat mich das nicht wirklich weiter gebracht.

Ich bekomme meine Fouriertransformation über die drei Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{k} \end{eqnarray*}$ , die ich dann in die Fourier-Formel einsetze. Den Ansatz will ich auch weiter verfolgen.

Gruß, Ephelemi

01.06.2016, 09:09

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Ephelemi
$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{2}{T} \cdot \lim_{T_{0} \to 0} \left(\color{red}\int_{0}^{T_{0}} \! \frac{2}{T_{0}} \, dt \color{black} + \int_{T_{0}}^{T} \! 0 \, dt \right) \end{eqnarray*}$

Müßte es hier nicht $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{T_{0}} \! \frac{1}{T_{0}} \, dt \end{eqnarray*}$ heißen?

01.06.2016, 21:45

Ephelemi

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Oh, danke für den Hinweis. Allerdings werde ich das Problem jetzt anders angehen. (Einheitsimpuls, bzw. Dirac-Impuls) Vielen Dank trotzdem für eure Hilfe!

Gruß, Ephelemi

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