Polynome Integral

01.06.2016, 16:34

mitgliedmb

Polynome Integral

Hallo.

Ich vermute, das ist wieder so eine Aufgabe wo ich
a $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ + b x + c
fuer f einsetzen muss.

Aber wie ist das mit dem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gemeint?

Vielen Dank.

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f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} C^{2} \end{eqnarray*}$ ([-1,1], R) und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} f(x)dx \end{eqnarray*}$ = f(1) + f(-1) - 0.5 + $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )(f'(-1)) + $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \end{eqnarray*}$ (0.5 $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )f''(x) dx

01.06.2016, 20:05

Leopold

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RE: Polynome Integral

Zitat:

Original von mitgliedmb
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} f(x)dx \end{eqnarray*}$ = f(1) + f(-1) - 0.5 + $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )(f'(-1)) + $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \end{eqnarray*}$ (0.5 $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )f''(x) dx

Irgendwie ist da der Wurm drin. Jedenfalls gehen mehr Klammern zu als auf. Bitte korrigiere die Formel.

Die Grundidee zur Lösung dürfte partielle Integration von $\begin{align*} \int_{-1}^1 \left( \frac{1}{2} x^2 + \alpha \right) \cdot f''(x) ~ \dd x \end{align*}$ .

Und $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ ? Das ist halt eine beliebige Konstante ...

04.06.2016, 13:50

mitgliedmb

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RE: Polynome Integral
VIelen Dank fuer den Hinweis.

Kann ich nicht. Die Forenregeln geben einem nur 15 Minuten zur Korrektur.
Ich kann die Veraenderte posten:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\1} f(x)dx \end{eqnarray*}$ = f(1) + f(-1) - (0.5 + $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )(f'(-1)) + $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\1} \end{eqnarray*}$ (0.5 $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )f''(x) dx
Obwohl vorher die Integrale besser aussahen. Nur die Klammer vor dem 0.5 ist besser.

Ist wohl doch ganz anders als ich dachte. Habe mehrere solcher Aufgaben.

Ich verstehe. Alle mit Substitution u partielle Integration bearbeiten.
Dann Quadrature rules based on interpolating functions anwenden.

Ich hoffe ich muss dann nicht auch noch den Fehler berechnen?

04.06.2016, 14:47

Leopold

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Wenn ich bei $\begin{align*} \int_{-1}^1 \left( \frac{1}{2} x^2 + \alpha \right) \cdot f''(x) ~ \dd x \end{align*}$ zweimal partiell integriere, komme ich auf

$\begin{align*} \int_{-1}^1 f(x) ~ \dd x = f(1) + f(-1) - \left( \frac{1}{2} + \alpha \right) \cdot \color{red } \left( f'(1) - f'(-1) \right) \color{black} + \int_{-1}^1 \left( \frac{1}{2} x^2 + \alpha \right) \cdot f''(x) ~ \dd x \end{align*}$

Den Unterschied zu deinem Ausdruck habe ich rot gekennzeichnet.

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