Gradienten bestimmen

01.06.2016, 16:36	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradienten bestimmen Hallo, ich weiß nicht nicht wie ich den Gradienten bei der Aufgabe "zusammensetzen" soll. Habe die jeweiligen partiellen Ableitungen gebildet: $\begin{eqnarray} \frac{\partial f_1}{\partial t} = e^{ct} a * (ccos(t)-sin(t)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial f_2}{\partial t} = e^{ct} a * (csin(t)+cos(t)) \end{eqnarray}$ Aber ich weiß nicht genau wie ich daraus jetzt den Gradienten "zusammensetze". Nach unserer Definition ist der Gradient ein Vektor der alle partiellen Ableitung enthält aber immer nur bzgl. einer Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Ich bilde hier aber ja nach $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ ab. Oder benötige ich dann 2 Gradianten?
01.06.2016, 19:59	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten bestimmen Die beiden Ableitungen sind die Komponenten des Gradienten $\begin{eqnarray} \nabla \varphi =\begin{pmatrix}\frac{\partial\varphi_1}{\partial t}\\\frac{\partial\varphi_2}{\partial t}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} \varphi =\begin{pmatrix}\varphi_1\\ \varphi_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
01.06.2016, 20:12	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar danke. Wäre in diesem Fall der Gradient gleich der Jacobi Matrix? Nur fürs Verständnis.
01.06.2016, 20:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Aus der Definition folgt, dass der Gradient die Transponierte der Jacobi ist.
01.06.2016, 20:56	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Aber ich meine wir hatten das so gelernt, dass bei der Jacobi in den Spalten jeweils f_1 bis f_n für die jeweilige Variable steht, also in diesem Fall: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\frac{\partial\varphi_1}{\partial t}\\\frac{\partial\varphi_2}{\partial t}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder habe ich irgendwas falsch verstanden?
01.06.2016, 21:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau in deine Unterlagen
Anzeige

01.06.2016, 21:42	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh wie sähe denn in diesem Fall die Jacobi aus?
01.06.2016, 21:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt davon, wenn man die Frage nicht ordentlich liest Ich kenne den Gradienten nur für reellwertige Funktionen. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ erfüllt diese Bedingung aber nicht. Ich habe keine Ahnung, was der Aufgabensteller hier will. Tut mir leid für die Verwirrung Bei einer reellwertigen Funktion f gilt allerdings $\begin{eqnarray} \nabla f(x)=(J_f(x))^T \end{eqnarray}$
01.06.2016, 22:54	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Gradient ist definiert mit $\begin{eqnarray} grad(f)=\nabla f \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray}$ gilt. Das heißt der Gradient transformiert deinen Tensor 0.Stufe (Skalar) in einen Tensor 1.Stufe (Vektor). In dem Fall ist $\begin{eqnarray} \phi:\mathbb R\to\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ definiert. Hier liegt bereits ein Vektor vor demnach wäre die Transformationseigenschaft unter Berücksichtigung des Gradienten eine Transformation eines Tensors 1.Stufe zu einem Tensor 2.Stufe (Matrix). Schau mal unter dem Begriff "Dyadisches Produkt" nach. Ich denke darauf sollte die Aufgabe hinauslaufen. Viele Grüße
02.06.2016, 21:36	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh... Alles Klar danke. Ich werde mich die Tage mal ran setzen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »