Skalarprodukt und Orthonormalisierung

01.06.2016, 17:50

Oggel

Skalarprodukt und Orthonormalisierung

Hallo,

da ich gerade in meiner Klausurvorbereitung stecke und zu folgender Aufgabe leider keine Lösung habe, würde ich euch bitten eine kurzen Blick drauf zu werden, ob das so stimmt:

(1):
1. Symetrie: $\begin{eqnarray*} <v,w> = v^T * A * w = v^T*(A*w)^T = v^T*w^T*A^T = w^T * v^T * A^T = w^T*(v^T*A^T)^T = w^T*A*v = <w,v> \end{eqnarray*}$

2. Bilinear
a) $\begin{eqnarray*} <x+y,z> = (x_1+y_1,...,x_n+y_n) * A * z = (x^T + y^T) * A* z = (x^T * A* z) + (y^T * A* z) = <z,x> + <z,y> \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} <\lambda * x,y> = (\lambda * x_1,...,\lambda * x_n) * A * y = \lambda * x^T * A * y = \lambda * <x,y> \end{eqnarray*}$

3. Pos. Defin.
$\begin{eqnarray*} <x,x> = x^T * A * x = x^T * (A*x)^T = x^T * x^T * A^T = (x^T)^2 * A > 0 \end{eqnarray*}$

4.
$\begin{eqnarray*} <x,x> = 0 \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ , da A pos definit ist.

(2)

$\begin{eqnarray*} w_1 = \frac{e_1}{||e_1||} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (w_2)' = e_2 - <e_2,w_1>*w_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = \frac{(w_2)'}{||w_2||} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5} } \\ \frac{1}{\sqrt{5} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit habe ich die Orthonormalbasis.

Kommt das so hin?

Danke schonmal smile

01.06.2016, 17:54

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Interessante Lösung Big Laugh

Wo ist die Aufgabe ?

01.06.2016, 18:45

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups...

die habe ich doch glatt vergessen. Sorry!

01.06.2016, 19:51

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung der 1. Aufgabe ist in keinem Punkt in Ordnung.
Die Symmetrie und die Bilinearität beweist man durch geschickte Benutzung der Symmetrie der Matrix und Transponieren von Produkten.
Dass Du nur versucht hast, die Linearität im ersten Argument zu zeigen, musst Du dadurch ergänzen, dass Du auf die Symmetrie verweist, woraus sich die Linearität im zweiten Argument ergibt. Dein Versuch ist gescheitert, weil Du nichts beweist, sondern nur die zu beweisende Behauptung niederschreibst.
Das Skalarprodukt ist positiv definit nach Definition von positiv definit für die Matrix.

Das Ergebnis der Rechnung nach Schmidt ist richtig. Du hättest mir aber Arbeit erspart, wenn du nicht nur das Ergebnis, sondern auch die Rechnung aufgeschrieben hättest (das macht fast nichts). In einer Klausur musst Du die Rechnung aufschreiben, sonst nimmt der Korrektor an, du hättest abgeschrieben (das ist schlecht für Dein Klausurergebnis).

01.06.2016, 20:11

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Deine Lösung der 1. Aufgabe ist in keinem Punkt in Ordnung.
Die Symmetrie und die Bilinearität beweist man durch geschickte Benutzung der Symmetrie der Matrix und Transponieren von Produkten.
Dass Du nur versucht hast, die Linearität im ersten Argument zu zeigen, musst Du dadurch ergänzen, dass Du auf die Symmetrie verweist, woraus sich die Linearität im zweiten Argument ergibt. Dein Versuch ist gescheitert, weil Du nichts beweist, sondern nur die zu beweisende Behauptung niederschreibst.
Das Skalarprodukt ist positiv definit nach Definition von positiv definit für die Matrix.

Mhh Okay. Ich weiß leider noch nicht genau wie ich das besser machen müsste. Das Transponieren von Produkten habe ich doch angewandt oder?
Könntest du mir vllt nochmal zeigen an welchen Stellen ich das verbessern muss?

Zitat:

Original von Elvis
Das Ergebnis der Rechnung nach Schmidt ist richtig. Du hättest mir aber Arbeit erspart, wenn du nicht nur das Ergebnis, sondern auch die Rechnung aufgeschrieben hättest (das macht fast nichts). In einer Klausur musst Du die Rechnung aufschreiben, sonst nimmt der Korrektor an, du hättest abgeschrieben (das ist schlecht für Dein Klausurergebnis).

Alles klar. Sorry Big Laugh

merke ich mir fürs nächste Mal

02.06.2016, 11:20

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <.,.>:V\to V \end{eqnarray*}$ eines reellen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist (a) symmetrisch (b) bilinaer und (c) positiv definit. Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch, wenn $\begin{eqnarray*} A^T=A \end{eqnarray*}$ , sie ist positiv definit, wenn $\begin{eqnarray*} x^TAx>0(\forall x\ne 0) \end{eqnarray*}$ .

(a) Seien $\begin{eqnarray*} v,w\in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} <v,w>=v^TAw=(v^TAw)^T=w^TA^T(v^T)^T=w^TAv=<w,v> \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} A^T=A \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist.
(b) Seien $\begin{eqnarray*} u,v,w \in V, a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} <au+bv,w>=(au+bv)^TAw=((au+bv)^TAw)^T= w^TA^T(au+bv) =w^TA(au+bv)=w^T(aAu+bAv) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(w^T(aAu+bAv))^T=(aAu+bAv)^Tw=((aAu)^T+(bAv)^T)w =(au^TA+bv^TA)w=^{(*)}au^TAw+bv^TAw=a<u,w>+b<v,w> \end{eqnarray*}$
(*) gilt, weil das Standardskalarprodukt komponentenweise additiv ist. (Vielleicht ist das auch zu kompliziert, ich habe den Verdacht, an dieser Stelle muss es auch ein einfacheres Argument geben.)
Wegen (a) und (b) ist <.,.> auch linear im zweiten Argument: $\begin{eqnarray*} <w,au+bv>=<au+bv,w>=a<u,w>+b<v,w>=a<w,u>+b<w,v> \end{eqnarray*}$
(c) Sei $\begin{eqnarray*} x\in V\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} x\ne 0\Rightarrow x^TAx>0 \end{eqnarray*}$ weil A positiv definit, also ist $\begin{eqnarray*} x\ne 0\Rightarrow <x,x>=xA^Tx>0 \end{eqnarray*}$ , d.h. <.,.> ist positv definit.

02.06.2016, 20:19

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar Danke!

Aber eine Frage zum Verständnis. Es ist doch legitim die Bilinearität in a und b aufzuteilen so wie ich es gemacht habe oder?
Ist in diesem Fall mein 2b) auch falsch?

und mein 3 auch?

03.06.2016, 09:16

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist legitim und richtig, die 2 Bedingungen der Linearität getrennt zu beweisen. Leider ist völlig unklar, wie dein Beweis funktioniert, denn du verwendest unterschiedslos und ohne Erläuterung das Multiplikationszeichen * für Skalarmultiplikation, Matrizenmultiplikation und Standardskalarprodukt.
Aus demselben Grund funktioniert auch der Beweis für die positive Definitheit nicht, der ist schlichtweg falsch. Wäre er richtig, so wäre das Skalarprodukt <x,x> gleich dem skalaren Vielfachen einer Matrix, also eine Matrix. Und auch der Zwischenschritt $\begin{eqnarray*} x^T*x^T=(x^T)^2 \end{eqnarray*}$ ist absolut sinnfrei.

Bei Beweisen muss man sich über jedes Gleichheitszeichen und jede Implikation genau darüber klar werden, warum das gilt. Jeder einzelne Schritt muss korrekt und vollständig auf Definitionen und schon bewiesene Sätze zurückgeführt werden oder zumindest darauf zurückgeführt werden können. (Bei deinen Beweisen ist das nicht der Fall. Ob ich es vollständig geschafft habe, weiß ich auch nicht, aber ich habe es zumindest versucht.)

03.06.2016, 10:36

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich glaube soweit habe ich das verstanden, bloß eine letzte Frage noch:
Wenn ich den Beweis der Bilinearität aufteile in a und b und bei b nur folgendes beweisen möchte:
$\begin{eqnarray*} <\lambda*u,v> = \lambda * <u,v> \end{eqnarray*}$ Dann ist doch folgendes richtig oder?
$\begin{eqnarray*} <\lambda*u,v> = (\lambda * u)^T * A * v = \lambda * u^T*A*v = \lambda * <u,v> \end{eqnarray*}$ Da ich das Skalar doch einfach vor den Vektor schreiben kann, anstatt jede Komponente mit dem Skalar zu mulitplizieren.

Oder habe ich gerade eine Denkfehler?

03.06.2016, 11:09

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja, und jetzt hast Du ja auch eine Begründung gegeben. Das ist genau das, worauf es ankommt. Um den Beweis deutlicher zu machen, helfen Klammern und unterschiedliche Multiplikationssymbole, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \cdot_s, *, \cdot \end{eqnarray*}$ für skalare Multiplikation, Matrizenmultiplikation und reelle Multiplikation. Dann sieht der Beweis so aus:

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u,v\in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} <\lambda\cdot_s u,v>=(\lambda \cdot_s u)^T*(A*v)=(\lambda\cdot_s u^T)*(A*v)=\lambda\cdot_s(u^T*(A*v))=\lambda\cdot (u^T*(A*v))=\lambda \cdot <u,v> \end{eqnarray*}$

Wenn Du dir jetzt noch überlegst, dass hier Regeln im Vektorraum, in der Matrizenalgebra und im Körper der reellen Zahlen eine Rolle spielen, ist das gar nicht so trivial.

03.06.2016, 11:16

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt

Danke

Neue Frage »

Antworten »

Skalarprodukt und Orthonormalisierung

Verwandte Themen