Basis im Polynomraum

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igor789 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis im Polynomraum
Hallo miteinander,

wie kann ich zeigen, dass ein Tupel von Polynomen eine Basis im ist?Genauer:

Ich habe

Normalerweise zeigt man eine Basis ja, indem man zeigt, dass das Tupel ein linear unabhängiges erzeugendensystem ist, aber eine Matrix lässt sich hier ja nicht einfach so aufstellen und nach Gauss lösen, oder? Wie man sieht brauch ich dringend Hilfe unglücklich
LG
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RE: Basis im Polynomraum
Du brauchst keine Matrix, um die lineare Unabhängigkeit von b_0, b_1, b_2 zu zeigen.
Wie prüft man lineare Unabhängigkeit?
igor789 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich prüfe sie so:

Wenn V ein K-VR ist:

mit
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Na dann los smile
Die linke Seite wird ein Polynom zweiten Grades sein
igor789 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich erhalte dann ja einen Term mit 3 Lambdas sowie Potenzen von t.
Wäre das Vorgehen so, dass ich den Term nach Potenzen ordne und die t-Potenzen ausklammere? Dann hätte man ja 3 "Koeffizientengleichungen" aus welchen man ein LGS basteln könnte?
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so ist es Freude
 
 
igor789 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey cool, danke, dann probiere ich das einmal smile
igor789 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay super lineare unabhängigkeit ist gezeigt. Jetzt muss ich noch zeigen, dass das Tupel ein EZS im Polynomraum2 ist...das geht vermutlich genauso, oder? Also wieder die "Koeffizientengleichungen" in ein LGS schreiben?
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Welche Dimension hat ?
igor789 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

das weiß ich leider nicht (wie gesagt, hänge in dem Thema etwas zurück), aber ich schätze er hat die Dimension 2, weshalb ich mir den ganzen Kram hätte sparen können? Hammer Big Laugh
igor789 Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl, lese ich gerade, dass die Polynomräume Pn eine Dimension von n+1 haben.
Da ich 3 linear unabhängige Vektoren habe und die Dimension 3 ist, muss noch gesondert gezeigt werde, dass die Vektoren ein EZS bilden , oder?
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n linear unabhängige Vektoren eines n dimensionalen Vektrorraums sind immer eine Basis desselben.
igor789 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so das wusste ich nicht. Ich habe bisher immer auch noch gezeigt, dass sie ein EZS bilden.
Super, dann bin ich ja fertig, vielen Dank smile
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