Eigenvektoren berechnen

01.06.2016, 20:27

MatheKind

Eigenvektoren berechnen

Hallo,
ich versuche den Eigenvektor folgender Matrix zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 9 \\ 0 & 9 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A) = -x^3 + 32x^2 - 260x + 400 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A) = -(t - 2) * (t - 10) * (t - 20) \end{eqnarray*}$

Eigenwerte: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 10, \lambda_3 = 20 \end{eqnarray*}$

Eigenvektor für $\begin{eqnarray*} \lambda_3 = 20 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 10x1 + 0x2 + 0x3 = 20x1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10x1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9x3 = 9x2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x3 = x2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich nicht mehr weiter, da Quatsch raus kommt:
Eigenvektor für Eigenwert = 10:

$\begin{eqnarray*} 10x1 + 0x2 + 0x3 = 10x1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0x1 + 11x2 + 9x3 = 10x2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2 = -9 * x3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9x2 + 11x3 = 10x3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x3 = -9x2 \end{eqnarray*}$

0 = 0 und $\begin{eqnarray*} x3 = -9x2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2 = -9 * x3 \end{eqnarray*}$ scheinen mir einfach Quatsch zu sein.

Weißt jemand weiter?

Liebe Grüße,
MatheKind

01.06.2016, 20:34

Helferlein

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Und warum sollte das Quatsch sein? Bis dahin ist alles richtig (wenn auch ein wenig umständlich).

01.06.2016, 21:46

MatheKind

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Was soll ich denn für den Eigenwert = 10 eintragen?
0 = 0 ist für mich nichtssagend. Ich erwarte $\begin{eqnarray*} x_1 = 2x_2 \end{eqnarray*}$ oder so.
Mich verwirrt, dass mir diese Webseite etwas anderes berechnet:

Zitat:

charakteristisches Polynom:
-x^3 + 32x^2 - 260x + 400

reelle Eigenwerte: { 2 ; 10 ; 20 }

Eigenvektoren:

zum Eigenwert 2:
[ 0 ; -1 ; 1 ]

zum Eigenwert 10:
[ 1 ; 0 ; 0 ]

zum Eigenwert 20:
[ 0 ; 1 ; 1 ]

Liebe Grüße,
MatheKind

01.06.2016, 21:54

Helferlein

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Die berechnet doch dieselben Eigenvektoren wie Du verwirrt

Setze das x3 aus der zweiten Gleichung in die dritte ein und berechne damit x2.

01.06.2016, 22:23

MatheKind

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Eigenvektor für Eigenwert = 10:

$\begin{eqnarray*} I: 10x_1 + 0x_2 + 0x3 = 10x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I: 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 0x_1 + 11x_2 + 9x_3 = 10x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: x_2 = -9 * x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III: 9x_2 + 11x_3 = 10x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III: x_3 = -9x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IV: II in III: x_3 = -9*(-9 * x_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IV: 0 = 80 x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IV: x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Ok, aber was ist $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ?

BTW: Du meintest, ich mache das umständlich. Wie geht das effizienter?

Liebe Grüße,
MatheKind

01.06.2016, 23:16

Helferlein

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Welche Bedingung wurde denn in der Rechnung an $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ gestellt? Keine!
Also kannst Du $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ beliebig wählen. Genau so wie du es übrigens im ersten Beispiel mit $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ gemacht hast.

Zur Vereinfachung: Schau Dir die erste Spalte der Matrix an. Was sagt sie dir?

02.06.2016, 07:28

MatheKind

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Ich hatte im ersten Beispiel $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt, weil ich wusste, dass das Verhältnis einfach nur gleich sein muss, da $\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 \end{eqnarray*}$ , aber ich wusste nicht, dass ich bei $\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$ selbiges tun kann. Aber dann ist das tatsächlich der Fall?

Danke bisher für deine Hilfe! smile

Kennst du Tricks, wie man noch effizienter vorgehen kann? Sind in der Klausur nämlich Gold wert!

Liebe Grüße,
MatheKind

02.06.2016, 22:22

Helferlein

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Da stand ja zunächst $\begin{eqnarray*} 10x_1=10x_1 \end{eqnarray*}$ . Du kannst Dir analog zur anderen Rechnung also einen Wert ausdenken.

02.06.2016, 22:23

MatheKind

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Ich glaube, ich habe den Dreh immer noch nicht ganz raus. Was stimmt an dieser Variante nicht?

Eigenvektor für Eigenwert = 10:

$\begin{eqnarray*} I: 10x_1 + 0x_2 + 0x3 = 10x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I: 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 0x_1 + 11x_2 + 9x_3 = 10x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: x_2 = -9 * x_3 \end{eqnarray*}$

Eigenvektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -9 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist klar, dass A * Eigenvektor != Eigenwerte * Eigenvektor, aber weshalb?

Liebe Grüße,
MatheKind

02.06.2016, 22:26

Helferlein

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Du kannst doch die dritte Gleichung $\begin{eqnarray*} x_3=-9x_2 \end{eqnarray*}$ nicht einfach unter den Tisch fallen lassen. geschockt

03.06.2016, 09:43

MatheKind

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Ich dachte, das sei legitim. Meine Dozentin schreibt:

Zitat:

Eigenvektor zum Eigenwert 1:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x_1 + 6x_2 = x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x_1 + 4x_2 = x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x_2 = x_1 \end{eqnarray*}$ , d. h. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist der Eigenvektor zum Eigenwert 1.

Egal, wie ich vorgehe, ich komme immer auf diese Gleichung:

$\begin{eqnarray*} -x_1 + 6x_2 = x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x_2 = 2x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x_2 = x_1 \end{eqnarray*}$

oder auch:

$\begin{eqnarray*} -x_1 + 4x_2 = x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x_2 = x_1 \end{eqnarray*}$

Deswegen dachte ich, dass ich es bei meinem letzten Beispiel auch bei $\begin{eqnarray*} x_2 = -9 * x_3 \end{eqnarray*}$ belassen kann.
Wo liegt mein Denkfehler?

Liebe Grüße und danke, für deine Hilfe!
MatheKind

03.06.2016, 12:55

klarsoweit

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Du mußt eine Lösung suchen, die genau diese beiden Gleichungen (gleichzeitig) erfüllt:

Zitat:

Original von MatheKind
$\begin{eqnarray*} II: 0x_1 + 11x_2 + 9x_3 = 10x_2 \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} III: 9x_2 + 11x_3 = 10x_3 \end{eqnarray*}$

Und da kommt offensichtlich nur $\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ in Frage. Bei dem Beispiel deiner Dozentin ist die Sache etwas anders gelagert.

Im Prinzip geht es hier (nur) um das Lösen linearer Gleichungssysteme. Das Thema muß natürlich in allen Einzelheiten verstanden sein. smile

03.06.2016, 14:15

MatheKind

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Hi klarsoweit,
danke, für deine Antwort. Wenn ich das richtig sehe, muss ich also immer sicher gehen und immer alle Gleichungen lösen? Wieso geht das bei dem Beispiel meiner Dozentin aber gut, wenn ich mir nur eine Gleichung anschaue?

Liebe Grüße,
MatheKind

03.06.2016, 14:24

klarsoweit

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Bei dem Beispiel deiner Dozentin hast du letztlich diese beiden Gleichungen:

Zitat:

Original von MatheKind
$\begin{eqnarray*} 6x_2 = 2x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x_2 = x_1 \end{eqnarray*}$

Und wenn man mal die erste Gleichung durch 2 dividiert, entspricht diese der 2. Gleichung. Folglich ist eine Gleichung obsolet. Augenzwinkern