Folge komplexer Zahlen Konvergenz und Grenzwert

02.06.2016, 16:35	BadeEnte	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge komplexer Zahlen Konvergenz und Grenzwert Meine Frage: Es sei (an)n?N0 eine Folge komplexer Zahlen mit an+1=1/2(an + an?1), (n ? 1). Die Startwerte a0 und a1 seien vorgegeben. Zeigen Sie, dass die Folge fÜr jede Wahl der Startwerte konvergiert, und berechnen Sie a := lim(an) n?? in Abhängigkeit von a0 und a1. Hinweis: Betrachten Sie die Differenzen ?n:= an+1 ? an. Für die Berechnung des Grenzwerts ist die geometrische Reihe nützlich. Meine Ideen: Ich habe noch keinen richtigen Ansatz gefunden. Es fällt auf das die Folge der Fibonacci-Folge stark ähnelt, muss ich dies verwenden? Danke im vorraus.
02.06.2016, 16:46	BadeEnte	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist wohl was schief gelaufen. also es soll natürlich heißen: Es sei (an) n Element aus N0 an+1= 1/2(an+an-1) mit N >=1 sowie a:=lim(an) für n gegen unendlich
02.06.2016, 20:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + a_{n-1} \right) \end{align}$ Für die Folge der $\begin{align} b_n \end{align}$ mit $\begin{align} b_n = a_{n+1} - a_n \, , \ \ n \geq 0 \end{align}$ läßt sich leicht die Rekursion $\begin{align} b_{n+1} = - \frac{1}{2} b_n \, , \ \ n \geq 0 \end{align}$ nachweisen. Eine explizite Darstellung der $\begin{align} b_n \end{align}$ kann daraus abgelesen werden. Schließlich folgt damit $\begin{align} a_n = a_{n-1} + b_{n-1} = a_{n-2} + b_{n-2} + b_{n-1} = \ldots = a_0 + \sum_{k=0}^{n-1} b_k \end{align}$ Und mit der geometrischen Summe kann man diesen Wert dann ermitteln.

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