Cauchy-Folge - Beweis

02.06.2016, 20:28	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Folge - Beweis Meine Frage: Hallo, die Aufgabenstellung ist im Anhang. Meine Ideen: Erst mal zu (1): Eine Cauchy-Folge ist ja wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0\exists N\in\mathbb N\forall m,n\geq N:\|a_m-a_n\|<\epsilon \end{eqnarray}$ Mich verwirrt bei der Aufgabe, dass hier keine konkrete Folge gegeben ist wie z.B. $\begin{eqnarray} (s_n)=\frac{n}{n+1} \end{eqnarray}$ sondern man nur die Info gegeben hat, dass der Abstand vom n-ten und n+1-ten Folgeglied kleiner gleich $\begin{eqnarray} 3^{-n} \end{eqnarray}$ ist. Wie kann ich diese Voraussetzung nutzen um zu zeigen, dass es zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ einen Index N gibt, sodass ab N alle Folgenglieder weniger als $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ voneinander entfernt sind?
02.06.2016, 20:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Folge - Beweis $\begin{eqnarray} \|a_m-a_n\|\leq \|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_n\| \end{eqnarray}$ könnte helfen.
03.06.2016, 16:10	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die Antwort. Heißt dass, dass ich quasi wie folgt abschätzen muss: $\begin{eqnarray} \|a_m-a_n\|\leq ... \leq \|a_n-a_{n+1}\|\leq 3^{-n}\leq \epsilon \end{eqnarray}$ und dabei $\begin{eqnarray} \|a_m-a_n\|\leq \|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_n\| \end{eqnarray}$ nutze? Woher leitet sich diese Ungleichung ab? Ist das eine Form der Dreiecksungleichung?
03.06.2016, 18:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wüsste nicht, wie man das machen soll. Aber zeig mal, wie du das machen willst. Ich würde den ersten Summanden in $\begin{eqnarray} \|a_m-a_n\|\leq \|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_n\| \end{eqnarray}$ abschätzen und mir überlegen, auf welche Art ich den zweiten bearbeiten kann. Ja, Dreiecksungleichung.
04.06.2016, 23:32	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich habe es mittels der geometrischen Reihe abgeschätzt, das hat ganz gut geklappt. Jetzt bin ich bei Aufgabe 2 am Überlegen, wie ich am besten an die Folgen komme. Eine Idee war, sich für die konvergente Folge eine Folge zu nehmen, bei der alle Glieder positiv sind, und bei der divergenten Folge eine alternierende Folge zu nehmen. Jetzt habe ich Schwierigkeiten überhaupt Folgen zu finden bei denen $\begin{eqnarray} \|a_n-a_{n+1}\| = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ gilt. Gibt es eine Möglichkeit sich Folgen dementsprechend zu konstruieren?

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