Analysis2 Wellengleichung Lösung

02.06.2016, 22:27	0101110011010	Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis2 Wellengleichung Lösung Meine Frage: Aufgabe: siehe Anhang und mit dem Hinweis auf die H30 ist einfach $\begin{eqnarray} \Delta f:= \sum\limits_{k=1}^{n} \partial_{kk}f \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß das ich irgendwie für das was in g(*) steht, eine neue Funktion einsetzen muss und dann sollte ich mit Produkt und Kettenregel weiter kommen. Aber ich weiß einfach nicht genau was ich einsetzen soll, bzw was den passiert wenn ich partiell nach x ableite (wegen dem Skalarprodukt).
02.06.2016, 22:46	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Skalarprodukt ist bilinear, das heisst es gilt insbesondere $\begin{eqnarray} \langle u, v+he_j \rangle=\langle u, v\rangle+h \langle u, e_j \rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle u+he_j, v \rangle=\langle u, v\rangle+h \langle e_j,v \rangle \end{eqnarray}$ . Das Skalarprodukt sollte also keine Schwierigkeiten machen.
03.06.2016, 10:20	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist die Wellengleichung $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}-c^2 \left ( \tfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}+\tfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}+... \tfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\right )=0 \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist, dass folgende Funktion Lösung der Wellengleichung ist $\begin{eqnarray} f(\vec x, t)=g(\underbrace{\vec v \cdot \vec x-ct\|\|\vec v\|\|}_{u=\text{innere Funktion}}) \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------------------------------ Diese Aufgabe ist nichts anderes als eine einfache Anwendung der Kettenregel: Wir bilden mittels Kettenregel die 1.Ableitungen von f nach der Zeit t und nach den Ortskoordinaten $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ mit k=1,2,...,n $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial f}{\partial t}=\tfrac{dg}{du}\tfrac{\partial u}{\partial t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial f}{\partial {x_k}}=\tfrac{dg}{du}\tfrac{\partial u}{\partial {x_k}} \end{eqnarray}$ Darin lauten die Ableitungen der inneren Funktion offenbar $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial t}=-c\|\|\|\vec v\|\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial {x_k}}=v_k \end{eqnarray}$ . Einsetzen ergibt also folgende 1.Ableitungen: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial f}{\partial t}=-\tfrac{dg}{du}\cdot \underbrace{c\|\|\vec v\|\|}_{\text{konstant}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial f}{\partial {x_k}}=\tfrac{df}{du}\cdot \underbrace{v_k}_{\text{konstant}} \end{eqnarray}$ Nochmaliges Ableiten mittels Kettenregel ergibt die 2.Ableitungen $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial ^2f}{\partial t^2}=-c\|\|\vec v\|\|\cdot \tfrac{\partial}{\partial t}\left ( \tfrac{dg}{du}\right )=-c\|\|\vec v\|\|\cdot \tfrac{d^2g}{du^2}\tfrac{\partial u}{\partial t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial ^2f}{\partial {x_k^2}}=v_k\cdot \tfrac{\partial}{\partial t}\left ( \tfrac{dg}{du}\right )=v_k\cdot \tfrac{d^2g}{du^2}\tfrac{\partial u}{\partial {x_k}} \end{eqnarray}$ Auf der rechten Seite setzen wir wieder wie oben die Ableitungen der inneren Funktion ein, also $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial t}=-c\|\|\|\vec v\|\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial {x_k}}=v_k \end{eqnarray}$ . Das ergibt endgültig folgende 2.Ableitungen $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial ^2f}{\partial t^2}=c^2\|\|\vec v\|\|^2\cdot \tfrac{d^2g}{du^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial ^2f}{\partial {x_k^2}}=v_k^2\cdot \tfrac{d^2g}{du^2} \end{eqnarray}$ Setze diese 2.Ableitungen in die obige Wellengleichung ein und beachte $\begin{eqnarray} \|\|\vec v\|\|^2=v_1^2+v_2^2+...+v_n^2 \end{eqnarray}$ . Was passiert?

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